domenica 5 febbraio 2012

Sarà mica matematica 11, le soluzioni


Qui si discutono le risposte. Chi cercasse le domande le può trovare da quest’altraparte.

Dunque, vediamo, la tabellina del 21...


La soluzione
Bisogna trovare i multipli di 21 con tre cifre.
Non è difficile trovare, per tentativi, il più piccolo di essi: dato che 21x4=84 e 21x5=105, sono da scartare i primi 4 multipli di 21.
Partendo dal 105, si può continuare ad aggiungere 21 fino a trovare un numero che abbia 4 cifre, che sarà da scartare. In questo modo, però c’è da fare un bel po’ di calcoli.
Più veloce sarebbe riuscire a scoprire qual è il più grande multiplo di 21 con tre cifre.
Dato che

1000:21 = 47,6 (non serve calcolare altri decimali)

è evidente che 47 è il più piccolo numero intero che, moltiplicato per 21, dia un risultato minore di 1000 (che è il primo numero a 4 cifre).
Infatti 21x47=987 e  21x48=1008.

Quindi ci sono 47 multipli di 21 minori di 1000, da questi bisogna togliere i primi 4 (che, come abbiamo visto, hanno solo due cifre). 

47 - 4 = 43

Esistono 43 multipli di 21 con tre cifre.

I solutori
Hanno trovato la soluzione seguendo la strada faticosa dei tanti calcoli: Fabio P., Giulia R. e Noemi C. di prima B., e Matteo C. di seconda B (a quest’ultimo va riconosciuto che ha fatto un pezzo di ragionamento in più, anche se non ha evitato i tanti calcoli).
Matteo N., di seconda B, ha fatto esattamente il ragionamento che ho tentato di esporre sopra. Poi però ha sbagliato l’ultimo passo: ha fatto la sottrazione 47-5=42. Ha dato una risposta sbagliata ma una nota di merito non gliela leva nessuno.


Allenarsi all'invalsi


Questo problemino mi ha insegnato qualcosa: mai fidarsi troppo delle proprie abilità e mai proporre un giochino che ti sembra facile senza averci pensato per bene.
Avevo letto la domanda da qualche parte, non so proprio più dove (a proposito: se l’autore originario passasse da queste parti, me lo dica e mi affretterò a riconoscere la paternità del gioco). Mi era sembrata una domanda facile e non mi ero preso la briga di leggere la risposta. 

Per trovare la soluzione basta fare il disegno, aggiungere i rametti necessari per 10 volte e contare i rametti totali. Un’operazione un po’ lunga ma non troppo complicata.


Il risultato è 1023.

La cosa potrebbe fermarsi qui e in una prova Invalsi farei così. Ma mi ero sbilanciato a chiedere un ragionamento in più, a trovare una formula che permettesse di trovare il numero non solo al decimo anno, anche al centesimo, ad esempio. Ho scoperto poi che fare quel ragionamento, davanti a una lavagna nera e con 24 ragazzi alle spalle, non è affatto semplice come pensavo. Infatti non ci sono riuscito.


Mi ci sono dovuto mettere poi, con un po’ di calma. Se trovare la soluzione non è stato facilissimo, riuscire a spiegarla potrebbe rivelarsi troppo difficile. Faccio un tentativo.

Tralasciamo per un attimo il passaggio del primo anno.


Al secondo anno, i rametti sono 2. Al terzo anno e ne aggiungono 4, cioè 2x2, cioè
22. Al quarto anno si aggiungono (22)x2 rametti, cioè 23.

Da qui in poi si continua in questo modo: ad ogni anno si aggiunge il doppio dei rametti dell’anno prima. Si avrà questa sequenza:
21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29  =

= 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512

A questo punto possiamo notare che:


1) Ogni numero della sequenza è esattamente uguale alla somma di tutti i numeri che lo precedono aumentata di 2. Ad esempio: 8 = (2 + 4) + 2 oppure 16 = (2 +4 + 8) + 2.


2) L’ultimo numero della sequenza è
29, quindi il numero successivo (che sarebbe 210) deve essere la somma di tutti i numeri della sequenza, compreso 29, aumentata di 2. Ora: siccome 210= 1024, la somma di tutti i nostri rametti sarà 1024 – 2 = 1022.

3) Dobbiamo ricordare che non avevamo considerato il rametto iniziale, quello piantato a terra. Se ora lo aggiungiamo al totale otterremo 1023. Potremmo anche dire che anziché fare 1024 -2, possiamo fare 1024 – 1 = 1023.

4)
Infine notiamo che stiamo cercando la somma di 10 anni di rametti, e 1024 è proprio 210. Se adesso chiamiamo n il numero di anni trascorsi, la formula che cercavamo è:

numero rametti = 2n -1 

Non vorrei esagerare. So di aver già perso metà dei lettori da almeno una decina di righe. Per i più temerari butto lì una spiegazione un pizzico più rigorosa, modello libro di testo, o quasi.

Abbiamo già visto che la nostra sequenza è del tipo

21 + 22 + 23 + 24

Se consideriamo anche il rametto iniziale, la sequenza diventa
1 + 21 + 22 + 23 + 24

Ora, aggiungiamo temporaneamente 1 all’inizio. La sequenza diventa

2 + 21 + 22 + 23+ 24

I primi due termini sono 2 + 2, cioè 4, cioè
22. La sequenza diventa allora
22 + 22 + 23+ 24

Ora i primi due termini sono
22+ 22cioè 2x(22), cioè (21)x(22) cioè 23 (applicando le proprietà delle potenze). La sequenza diventa

23+23+ 24

Si può continuare in questo modo finché si vuole.
Nel nostro caso ci fermiamo a 29 + 29, che è 2x(29) = (21)x(29) = 210 =1024.

Adesso è il momento di togliere quell’1 che avevamo aggiunto temporaneamente all’inizio.

Si ottiene 1024 – 1 = 1023.

In altre parole, la formula è di nuovo:
numero rametti = 2n -1 

I solutori

Hanno dato la risposta esatta: Fabio P., Giulia R. e Riccardo C.. A quest’ultimo va un plauso perché, oltre a dare il numero, ha fornito anche una spiegazione. Nelle sue parole: numero + stesso numero + 1 (gambo). Es. 3 + 3 + 1 = 7 (terzo anno). Il suo sistema è senz’altro giusto. Certo, non risparmia di fare tutti i calcoli fino al decimo anno ma, insomma, è qualcosa.


Complimenti a lui, a tutti i solutori e a tutti quelli che ci hanno provato.

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