domenica 30 marzo 2014

2 a settimana... 7

Facile? Difficile? Impegnarsi? Copiare? Divertirsi?
Domande domande domande...
Bene, abbiamo un'altra occasione per cercare qualche buona risposta.
Naturalmente con i due nuovi quesiti proposti dalla prof Giovanna su Matematicamedie.

Basta cliccare sull'immagine per aprire la pagina con i quesiti.
http://matematicamedie.blogspot.it/2014/03/due-settimana7.html

A proposito, qualcuno in seconda B ha notato che tra i vertici dei quadrati sembrano comparire dei punti grigi. In effetti l'mmagine assomiglia molto a una classica illusione ottica, la griglia Hermann, descritta dal fisiologo tedesco Ludimar Hermann quasi 150 anni fa. Bella, no?
Chissà se la prof  l'ha fatto apposta...

AGGIORNAMENTO
Andremo un po' fuori tema ma a volte il bello è proprio quello! Se ho capito bene il funzionamento dell'illusione ottica, dovrebbe bastare invertire le colorazioni, fare i "banchi" più chiari e le linee più scure e si dovrebbe ottenere l'effetto contrario. Dovrebbero comparire punti più chiari anziché più scuri.
Ci ho provato, un po' alla buona: verificate di persona se funziona.


mercoledì 26 marzo 2014

Sarà mica matematica 28, le soluzioni.

Ieri sera questo articolo cominciava con "Domani sera...". Era un post un po' affrettato, nel quale - per mancanza di tempo ma anche per pura dimenticanza - avevo tralasciato alcune questioni, anche importanti.
Quell'articolo si è trasformato in quello che state leggendo. Potremmo chiamarlo le soluzioni 2.0.

Infatti si discutono qui le soluzioni ai quesiti pubblicati un paio di settimane fa.

Il primo
Il primo a inviare una risposta è stato il terzino Pietro G., il quale ha allegato questa immagine:
E ha spiegato: "se il risultato deve essere dispari, devo usare un numero dispari di numeri per fare la somma; siccome è richiesta la somma più grande, escludo il numero più piccolo che posso, ovvero il 3 e non 1 perché è la partenza.

La somma è:

1+ 9+11+ 13+5+7+15+23+21+19+17+25+27+29+31=253

A me pare una buona spiegazione, anche perché sfrutta il suggerimento che avevo dato (cosa che a questo mondo han fatto in pochi, come cantava Guccini): il risultato è un numero dispari. I numeri a disposizione sono 16 ma, dai giochi dell'ultimo Due a settimana proposto dalla prof Giovanna, sappiamo che non si può ottenere un dispari sommando numeri in quantità pari...

Ecco, abbiamo imparato una piccola cosa e siamo in grado di usarla in un contesto diverso. E io sono un uomo contento.
A onor del vero, appena dopo la mail di Pietro è arrivata quella di Sophia Z. (seconda B), la quale fornisce una spiegazione del tutto simile: "Dato che sommando dei numeri dispari in quantità pari non si può ottenere un numero dispari, devo trovare il modo di togliere un numero dalla tabella, il più piccolo possibile, perché devo ottenere la somma più grande. Quindi, visto che devo partire in ogni caso dalla cifra 1, ossia la più piccola della tabella, tolgo il 3."

Sophia allega la scansione di quattro immagini:

Direi che sono tutte le soluzioni possibili e che io sono un uomo ancora più contento.

Dopo aver spulciato con po' di pazienza tutti i fogli e i foglietti con le risposte, ho scoperto che hanno individuato tutte le quattro soluzioni anche Davide M. (prima B) e Lucrezia I. (seconda B).
Ne hanno trovate 3 diverse Federico D.M. (prima B) e Ismaele M. (seconda B).
I due primini Damanjot S. e Marco A. ne hanno scoperte due.
L'elenco di chi ha individuato (solo) una delle soluzioni è piuttosto lungo: i primini Alessia S., Alice A., Andrea G., Aurora R., Cristian C., Francesco A., Kevin T. Lorenzo D., Luca N., Mattia C (in ritardo!), Morgana M., Nicolò A., Sara T., Tommaso S. e Viola Q.; i secondini Alessandro N., Amanda P., Carolina D.M., Davide C., Jelle R., Marco T., Matteo Ca., Matteo Ch., Sara R., Sharon C., Stefano S. e Valentina V..

Nel post dei quesiti dicevo di aver tratto spunto da un libretto. Si tratta di Pitagora si diverte, di Gille Cohen (ed. Mondadori). Il gioco compare nel libro senza l'indizio dei numeri dispari.

Il secondo
Si è rivelato meno facile, a quanto pare.
C'è chi l'ha risolto "facendo le proiezioni ortogonali" (Federico D.M. e Carolina D.M.), chi ha costruito la città con i lego (Davide M.), chi si è aiutato con i regoli (Damanjot S. e Alessandro N.)), chi dà la soluzione usando le coordinate a mo' di battaglia navale (Marco A.). Ognuno ha seguito una propria strada, insomma, come è giusto che sia. Naturalmente sono esclusi quelli (e quelle...) che scelgono la strada già segnata da altri e si fanno passare le soluzioni belle e pronte! Ecco, l'ho detto, non volevo ma non sono riuscito a trattenermi.

Pochi pochissimi hanno cercato di spiegare come hanno ragionato (sono indeciso se frasi del tipo: "ci ho pensato su un bel po' e poi ho capito che era così" si possano considerare delle spiegazioni; propendo per il NO).
Matteo Ca. scrive, ad esempio: "Ho, per prima cosa, cercato di capire quale edificio copriva quale (tenendo conto della legenda, quindi della loro altezza) e poi ho cercato di far combaciare la piantina con ognuna delle quattro visuali". Purtroppo poi commette un piccolo errore di valutazione (almeno credo, dovrò parlarne con lui) nella costruzione della pianta.
Sophia Z. (di nuovo lei, sì, cosa posso farci...) spiega: "Dato che i due edifici più alti, ossia quelli color arancione di altezza 5, sono sempre visibili, comincio a incastrare le varie visioni degli edifici arancioni visti dai quattro punti cardinali, isolandoli dalle restanti costruzioni. Seguendo lo stesso ragionamento per tutti gli altri edifici, ad altezza decrescente (GIALLO 4, BLU 2, VERDE 1), si trovano quattro soluzioni diverse, perché sia per gli edifici arancioni sia per quelli verdi sono possibili due differenti disposizioni." Le quattro soluzioni sono riassunte nell'immagine:
A ben vedere i palazzi verdi possono essere disposti in più di due modi diversi, infatti le soluzioni possibili sono sei. Vediamole una per una.

Soluzione individuata da Pietro G. (autore dell'immagine), Damanjot S., Davide C. Ismaele M. e Sara R. e Sophia Z.
Soluzione scoperta da Davide M., Federico D.M., Marco A., Sara R.  e Sophia Z.

 
Soluzione proposta da Alessandro N. e da Carolina D.M..
  
  
Soluzione scoperta da Ismaele M., Sara R.  e Sophia Z.
  
Soluzione scoperta da Sophia Z.

Soluzione trovata da... il prof :-) 




Non dimenticherò di svelare che il quesito è nato dopo aver letto questo post di maestra Renata, e  aver giochicchiato un po' con questa bella applet Geogebra, creata dal prof Jerzy Mil. Adesso potete usarla per verificare le soluzioni oppure per creare una vostra città e vedere come viene. Le istruzioni sono in polacco ma non dovrebbe essere un ostacolo, il funzionamento è molto intuitivo. Auguro a tutti Baw się dobrze!.
E naturalmente grazie a Renata e a Jerzy (che dev'essere proprio un bel tipo).


Anche stasera si è fatto tardi; concludo con tre osservazioni:

  1. mi complimento con chi ci ha provato, magari aiutato/a ma ragionandoci con la propria testa. 
  2. se qualcuno ritiene di essere stato dimenticato/a me lo dica e vediamo cosa si può fare
  3. nel frattempo la prof Giovanna ha pubblicato i due nuovi quesiti: li trovate qui.  Adesso vado anch'io a studiarmeli.

martedì 11 marzo 2014

Sarà mica matematica 28

Sono molto tentato di dirlo.
So che non è una buona idea ma sono troppo tentato.
Anzi, non resisto proprio, devo dirlo:  secondo me i quesiti di questa puntata sono molto facili.
Ecco, l'ho detto.
Forse mi sto facendo prendere la mano dalla facilità.
Comunque sia, ormai è tardi e non c'è più tempo per pensarne di migliori. Butto sul tavolo questi due.
Se sono troppo facili, ditemelo.

Il primo
L'ho rubato da un libretto che per adesso non dico e l'ho modificato appena un po', tanto per gradire.
Abbiamo una tabella con 16 caselle nelle quali si trovano i primi 16 numeri dispari.
Si tratta di spostarsi da una casella all'altra, via via si sommano i numeri delle caselle attraversate.
Si comincia dalla casella 1 e si deve terminare con la casella 31.
Dalla casella in cui ci si trova si può passare a un'altra solo se le due caselle ha un lato in comune. Ad esempio: dalla casella 1 si può passare alla casella 9 oppure alla casella 3. NON si può saltare alla casella 11.
Non si può mai passare su una casella più di una volta.
Lo scopo è individuare il percorso che consenta di ottenere la somma totale più grande possibile. C'è più di una soluzione.
Ma le vere domande sono: qual è la somma totale massima? E qual è il ragionamento che posso fare per scoprirlo?

Per confondere un po' le idee, butto lì un suggerimento: ho scelto di usare i primi 16 numeri dispari; ebbene, la somma da trovare è un altro numero dispari.

Il secondo

Anche questo l'ho rubato preso in prestito. A  proposito, ringrazio Maestra Renata (però non dico altro perché va bene proporre quesiti facili ma non bisogna esagerare...).

Immaginate una grande città piena di grattacieli. Immaginate il suo skyline (che se uno parlasse in italiano direbbe "il profilo contro il cielo", ad esempio). Immaginate di vedere il profilo dei grattacieli da nord (N), poi da sud (S), poi da ovest (W che sarebbe west, in inglese, tanto per rimanere un po' internazionali) e infine da est (E).
Riuscireste a capire come sono disposti i grattacieli in pianta, cioè visti da sopra?

Un esempio, tanto per capirci: se queste quattro immagini rappresentano i profili dei grattacieli visti dai quattro punti cardinali,
questa è la pianta della città (i numeri rappresentano l'altezza dei singoli grattacieli):
Ecco, allora io ho inventato la città che ha questi profili:
L'ho costruita con
4 palazzi verdi di altezza 1;
2 blu di altezza 2;
1 giallo di altezza 4;
2 arancioni di altezza 5.
Se qualcuno se lo stesse chiedendo: il grattacielo color "giallo allegria" ha altezza 4.
Si tratta adesso di riempire le caselle dello schema qui sotto in maniera da ricostruire la pianta della città.
Ah, c'è più di una soluzione.

L'ho detto che erano due quesiti troppi facili!
Ciononostante, avete ben due settimane di tempo per risolverli (sarebbe a dire fino a martedì 25 marzo 2014). 
Se non suonasse troppo come la frase di un vecchio saggio, direi: fate buon uso dei vostri giorni.

AGGIORNAMENTO
Una breve chiacchierata con la prof Giovanna mi ha indotto a riconsiderare il quesito 2, così ho ho inserito alcune precisazioni: il numero di palazzi usati, ad esempio. Inoltre, d'accordo, devo ammettere che forse non è proprio così facile...
Secondo me è tutto un gioco di incroci.

lunedì 10 marzo 2014

2 a settimana 6, le nostre soluzioni



In cronico ritardo, tento di riassumere le nostre soluzioni (o i nostri tentativi di soluzione) ai due  quesiti proposti un paio di settimane fa dalla prof Giovanna.

Il primo 


la risposta alla prima parte del quesito è NO: sommando 4  numeri dispari non si otterrà mai un dispari. Tutti quelli che ci hanno provato se ne sono resi conto.

Pochi hanno anche tentato di spiegare perché (che è poi la vera questione). Nelle parole di Ismaele (seconda B): "è impossibile in quanto la somma di due numeri dispari dà un risultato pari. Essendo 4 un multiplo di 2, otterrò sempre un risultato pari".

Un anonimo (ce n’è sempre almeno uno!) argomenta che si tratta di sommare una quantità pari di numeri dispari e se ottiene sempre un numero pari.

Oppure potrei citare Fabio P. (di terza B) che parla di numeri dispari sommati “in modo pari” (le virgolette sono sue e ci vogliono proprio) che danno sempre un risultato pari; ad esempio 5+5 =10 oppure 5 + 7 +3 + 1 =16. Numeri dispari sommati "in modo dispari", ad esempio 7 + 7 + 5 = 19 danno invece un risultato sempre dispari.

Tra quelli che hanno tentato una spiegazione, fosse anche solo abbozzata, figurano i primini Marco A., Samuele M., e Tommaso S.; i secondini Ismaele M., Sarah T., Sophia Z., Valentina V. e l’anonimo di cui sopra; i terzini Fabio P. e Pietro G..
 

Nella seconda parte del quesito, la prof Giovanna, con un accuratissimo equilibrismo lessicale,  suggerisce di cercare uno “stratagemma” per  “unire le cifre” e ottenere come somma il numero 21.

Se dare spiegazioni sembra essere molto complicato, trovare lo stratagemma è stato più facile e molti ci sono riusciti. È fin troppo comodo fare dell’amaro sarcasmo e notare che a scuola si impara in fretta a campare di stratagemmi :-)

Le soluzioni trovate:

17 + 1 + 3 = 21

15 + 5 + 1 = 21

13 + 7 + 1 = 21

11 + 7 + 3 = 21

11 + 5 + 5 = 21

15 + 3 + 3 = 21

17 + 3 + 1 = 21

13 + 5 + 3 = 21


Ce l’hanno fatta (ovvero hanno trovato almeno una soluzione):

Alessia S., Cristian C.,  Damanjot S., Davide C., Marco A., Mathias D.,  Mattia C., Nicolò A., per la prima B

Aman A., Amanda P., Carolina D.M., Davide C., Matteo Ch., Perla C., Sarah T., Sophia Z., Stefano S., per la seconda B

Alessandro M., Giulia R., Pietro G. per la terza.

Matteo Ch. (seconda B) precisa anche che le cifre da unire devono per forza essere un 1 unito a una delle altre cifre, in modo da ottenere “una decina per non superare il 21”.

Il secondo 

Molti non leggono (e non ascoltano!!) abbastanza bene e dividono i poligoni regolari i “parti uguali”: i più tracciano le diagonali e ottengono triangoli congruenti. La richiesta di ottenere quadrilateri congruenti era un pizzico più complicata e richiedeva uno sforzo in più.


E qui, ahimè, si vedono tutte le magagne che ci portiamo dietro in geometria. Tentiamo di nasconderle ma quelle tornano sempre fuori!

Fatto sta che ben pochi hanno trovato qualche soluzione buona e l’hanno anche spiegata. La maggioranza si è limitata a un disegnino. È una mia impressione oppure ho già detto troppe volte che il disegnino non basta?


Comunque sia, il triangolo equilatero è stato diviso in questo modo:
Qualche abbozzo di spiegazione: Davide C., di prima B, scrive “i tre quadrilateri sono uguali perché tracciando le tre altezze del triangolo ho i diviso i lati in due parti uguali ed anche gli angoli”; Matteo Ch. (seconda B) dice: “basta prima tracciare le tre altezze relative ai tre lati e trovare il centro del triangolo…”; Pietro G. (terza B) dichiara “traccio le tre altezze, sapendo che in un triangolo equilatero sono anche bisettrici e mediane [io aggiungerei anche gli assi], noto che si formano quattro romboidi che sono congruenti”. E poi si lancia in una dimostrazione della congruenza che non riporto perché stare a trascriverla tutta dal suo foglio mi richiederebbe l’intera serata.


Non riporto tutte le spiegazioni perché la questione si farebbe troppo lunga e perché alcune sono piuttosto complicate da decifrare. Ci ho provato ma quando (più di una volta!) ho letto “traccio le diagonali del triangolo” ho dovuto smettere perché mi girava la testa (e non solo quella, per essere schietto).


Solo Davide C. (di seconda B) ha proposto una soluzione di questo tipo (purtroppo non ha spiegato come l’ha ottenuta e perché i quadrilateri sono congruenti)

Ecco l’elenco dei solutori che si sono limitati al triangolo .

Primini: Alessia S., Marco A., Davide C.

Secondini: Amanda P., Marco T. Matteo C.,

Terzini: Fabio P., Pietro G.,



Hanno invece tentato di allargare l'esplorazione anche a qualche altro poligono regolare i signori:
Ismaele M., Matteo Ch., Nicolas A. (il quale divide bene il triangolo e il quadrato - ma non fornisce spiegazioni! - poi però non riesce a fare altrettanto con l’esagono e l’ottagono), Sarah T., Sophia Z., Stefano S., Valentina V.. 
Un paio di esempi:


Tra i tentativi di spiegare citerei Stefano che propone di tracciare “le altezze relative a ogni lato”, Ismaele che, nel quadrato e nell’esagono decide di “congiungere i punti medi dei lati opposti” (il sistema funziona nei casi citati ma non funziona più se i poligoni regolari hanno lati in numero dispari, infatti, lo stesso Ismaele sceglie di tracciare le altezze (mediane e bisettrici…) quando ha a che fare con il triangolo). Sophia è forse quella che si spinge più avanti nella ricerca di una regolarità: arriva a concludere che “ la "regola" che serve per individuare i quadrilateri in ogni figura regolare é trovarne il centro, e unirlo con i punti medi dei lati”. La frase finale l’ho un po’ sistemata io ma il senso era quello.



Concludo che:

1) Qualcuno si è impegnato e ha tutta la mia approvazione, anche in mancanza di soluzioni valide;

2) Qualcuno NON si è impegnato e non ha la mia approvazione, anche in presenza di soluzioni più o meno valide;

3) abbiamo molto da lavorare in geometria;

4) i ragazzi della prof Giovanna stavolta ci hanno surclassato, secondo me: invito tutti a dare almeno un’occhiata (ma sarebbe meglio darne più di una).



Domani (giorno più, giorno meno) dovrei riuscire a pubblicare un paio di quesiti nuovi. In maniera tale da poter rinnovare la sofferenza tra due settimane :-D


P.S.: stavolta più che mai temo di aver dimenticato qualcuno. Nel caso ditemelo, mi raccomando.