giovedì 24 dicembre 2015

Auguri aurei

Euclide l'avrebbe fatto diversamente, lo so.
Io avevo in mente di seguire per filo e per segno la costruzione secondo gli Elementi ma diventava troppo complesso e non ce l'avrei mai fatta prima di Natale. Quindi ho fatto come potevo, ecco.
In fondo si tratta solo di un piccolo filmato per fare gli AUGURI a (in ordine sparso):
alunni ed ex-alunni;
famiglie degli alunni e degli ex-alunni;
colleghi ed ex-colleghi;
amici ed ex-amici
chiunque passi di qui, anche per sbaglio!


BUONE FESTE!

PS: La fissazione di spiegare tutto è una specie di deformazione professionale. Allora, se qualche alunno non avesse afferrato bene il perché e il percome del filmato, consiglio di dare un'occhiata qui e qui.

lunedì 21 dicembre 2015

Due a settimana… numero quattordici


Una bella immagine colorata è quello che ci vuole per cominciare.
Qualcosa che metta allegria e pungoli i neuroni. Qualcosa che attiri l’occhio e stuzzichi il pensiero.
E sia, ecco la bella immagine colorata.
http://matematicamedie.blogspot.it/2015/12/due-settimana14.html

A questo punto so di aver già perso una buona parte dei lettori. Molti avranno intuito dove voglio arrivare, avranno cliccato sulla bella immagine colorata e adesso saranno già su Matematicamedie a leggere i nuovi quesiti della prof Giovanna.

Ma non c’è fretta, la scadenza è il 7 gennaio dell’anno prossimo, avete tutte le vacanze natalizie. Tra una fetta di panettone e una di pandoro potrete almanaccare su strani treni, scervellarvi su misteriose piastrelle triangolari, lambiccavrvi su cubi ben colorati e… sviluppati!

Insomma la prof Giovanna ci ha fatto un bel regalo per Natale. Ci voleva proprio qualcosa che stimolasse la circolazione sanguigna e favorisse la funzionalità cerebrale.
Bene, prima di esaurire la mia scorta di parole difficili, chiudo il post, chiudo il computer e chiudo gli occhi, che è tardi: domani c’è ancora l’ultimo giorno di lezioni da affrontare!

Piccolo aggiornamento: Leonardo mi segnala un problema con i collegamenti. Adesso dovrebbe essere tutto a posto. Grazie Leo!

mercoledì 16 dicembre 2015

Sarà mica matematica 37, le soluzioni

Guardo l'orologio.
Ancora per una mezz'oretta è il 16 dicembre. La data di scadenza dei giochi di Sarà mica matematica 37 era per venerdì 11 dicembre. Quindi dovrei riuscire a pubblicare le soluzioni con solo 5 giorni di ritardo. Non male!
Giusto il tempo di complimentarmi con me stesso, darmi una meritata pacca sulla spalla e riguardare l'orologio: sono già passati altri dieci minuti!
Sarà meglio passare senza indugi alle soluzioni dei tre quesiti. 

IL PRIMO

Stefano P vince il premio speciale della giuria per la risposta più sintetica ed esaustiva: dato che la media [da ottenere] è 8, la somma dei 4 voti deve essere 32 cioè 8x4. Dato che i primi due voti danno come somma 6+9=15, bisogna prendere come minimo 32-15=17con gli ultimi due voti. Se il massimo voto è 10, il voto minimo che può aver preso nella terza verifica è 17-10=7 .
Infatti (6+9+7+10)/4=32/4=8.


È lo stesso ragionamento che hanno seguito quasi tutti gli altri, con poche variabili. 
I fratelli Chiara e Paolo M aggiungono un'immagine (che ci sta sempre bene).
Viola Q usa una forma più discorsiva, che io mi permetto di emendare da qualche errore coi congiuntivi (...per fortuna la prof di italiano non ci legge):
La soluzione è: 6, 9, 7, 10.
Per trovarla ho seguito un semplice ragionamento. Per prima cose ho calcolato che per avere esattamente 8 in pagella la media dei suoi voti sarebbe dovuta essere 32. Dopodiché ho fatto la somma dei primi due numeri ed è uscito 15; quest'ultimo l'ho sottratto alla somma totale, il risultato che è uscito è 17. Adesso è stato molto semplice perché lei ha detto che nella terza verifica avrebbe ancora potuto prendere 8 di media se si fosse impegnato, quindi presumendo che nella quarta verifica abbia preso il voto maggiore (10), di conseguenza nella terza verifica aveva preso 7. 

Leonardo R argomenta in maniera sintetica e apprezzabile. È un peccato che mi abbia inviato una mail con la foto di un foglio con le soluzioni scritte a mano. Per quanto la risposta sia apprezzabile non è abbastanza sintetica da indurmi a ricopiarla tutta!

Un discorso simile si può fare per Naomi R: le foto che mi ha inviato mostrano l'equazione
(6+9+a+10)/4=8 
da cui risulta che a = 7. Naomi ci sta prendendo gusto con le equazioni. Sicuramente se la caverà alla grande quando affronteremo l'argomento equazioni in classe!

Mirko P calcola in maniera un po' arzigogolata la media dei primi due voti, poi la media dei secondi due. Poi la media tra le medie... E arriva alla risposta giusta! Yeah!

Gaia C arriva alla risposta corretta anche se la sua spiegazione è un po' claudicante.

Federico DM fornisce la risposta corretta ma si tiene per sé il sistema che ha usato per arrivarci. Egoista!

IL SECONDO

Stavolta vince il premio "breve ma denso" la risposta di Viola Q:
La prima soluzione è 76 cm.
Per trovarla ho ragionato sulla struttura della scala e ho notato che tutti i quadratini erano esposti per solo due lati, ma il primo e l'ultimo per tre lati, così ho applicato la seguente formula:
perimetro = (numero tot. quadratini x2) +2 

Solo un pizzico più lunga la risposta di Stefano P: ogni quadratino della figura ha due lati che fanno parte del perimetro, tranne il primo e l'ultimo che ne hanno uno in più. Quindi posso calcolare il perimetro in questo modo: 37 x 2 = 74, ai quali aggiungo i lati in più del primo e dell'ultimo, quindi il perimetro della figura è: 74+2=76 cm.
La formula per trovare il perimetro di qualunque figura di N quadratini è quindi: P=Nx2+2.

Naomi R fa un po' di prove con diverse quantità di gradini. Alla fine arriva a una formula generale apparentemente diversa da quelle di Viola e di Stefano, in realtà del tutto equivalente:
Il perimetro viene calcolato facendo 4 (numero che devo aggiungere ogni volta per formare un nuovo piano della scala) per il numero di piani della scala (quadratini che formano la scala +1) diviso 2 (numero dei quadratini di ogni piano).
Per trovare il perimetro di una scala da 37 gradini devo fare:
P= 4 x (37+1)/2 = 76
La formula generale è:
P = 4 x (n+1)/2   dove n è il numero di quadratini, aggiungo io.
Aggiungo anche che a questo punto basterebbe semplificare il 4 con il 2 per ottenere:
perimetro = 2(n+1)
che è il risultato che mi piace di più.

Mirko P ragiona così: il quadratino iniziale è esposto con 3 lati, i quadratini "centrali" sono esposti con 2 lati, gli ultimi due quadratini hanno 5 lati esposti. Quindi scrive: ho tolto il primo quadratino e gli ultimi due da 37. Risultano 34 quadratini da 2 lati. Poi ho aggiunto i 5 lati del quadratini iniziali e finali. In totale 76 lati da 1cm=76 cm.
La formula generale che risulta é:
2p=(n-3)x2 +8 
Il ragionamento non mi sembra malaccio :-)
Faccio solo notare che gli ultimi due quadratini sono in realtà un quadratino centrale (da 2 lati) e un quadratino finale (equivalente al quadratino iniziale, da 3 lati). Questo semplificherebbe un po' il tutto.

Paolo e Chiara M iniziano con chiarezza: dal momento che tutti i quadratini hanno 2 lati “esposti” (che costituiscono il perimetro della scala), tranne i due quadrati alla sommità e alla base. Continuano con una figura che vorrebbe rendere il tutto ancora più chiaro. In effetti mi pare confondere più che chiarire, quindi mi sono preso la libertà di fare qualche ritocco. Ne è uscita questa immagine.
Paolo e Chiara concludono con una formula un po' più complicata del necessario. Anche qui sono intervenuto con un ritocco piccolo piccolo. Spero che i due fratelli non se ne abbiano a male! La loro formula è: 
2p scala = (2p quadratino x n° quadratini) : 2 + 2

Applicata alla scala con 37 quadrati diventa:

2p scala formata da 37 quadratini = (4 x 37) : 2 + 2 = 76 cm

Leonardo R trova il perimetro disegnando l'intera scala con 37 gradini. Poi - per fortuna, aggiungerei - riesce a costruire la formula generale, anche se non spiega fino in fondo perché e percome ci arriva.

Giorgia M completa bene il ragionamento: di ogni quadratino devo calcolare i due lati esterni, tranne per il quadratino più in alto e per quello più in basso, che hanno 3 lati esterni. Poi con qualche sempolice calcolo arriva alla risposta: 76cm. Manca invece il passaggio più complesso, quello della generalizzazione. Ma dalla prima alla fine della terza c'è abbondanza di tempo e ci arriveremo con calma :-)

Lo stesso potrei dire per Sara C, la quale sceglie la strada più faticosa: ho calcolato il perimetro della figura sommando i lati esterni. Poi tenta una formula generale ma con poca fortuna :-D 

Anche Gaia C percorre il sentiero lungo: ho contato tutti i lati per calcolare il perimetro. Oltre a farlo con 37 quadratini ho provato con altri numeri. Ho sottratto ai vari perimetri il loro numero di quadratini e ho notato che la differenza era sempre il numero di quadratini + 2. Da questa osservazione Gaia ricava la formula generale per una scala di n quadratini: perimetro= nx2+2
 
IL TERZO
Le soluzioni si possono suddividere in due tipologie. La prima è ben rappresentata dalla risposta di Stefano P: per risolvere il problema ho diviso il quadrato grande prolungando i lati del quadrato piccolo. Dato che il quadrato piccolo ha lo stesso centro del quadrato grande e che il suo lato è 1/3 di quello del quadrato grande, ottengo 9 parti uguali al quadrato grigio, come si vede nel disegno.

L'area arancione è formata da 2 quadratini completamente colorati e da 4 quadratini colorati a metà. Dato che l'area di ogni quadratino è uguale a quella del quadrato grigio che è di 1 x 1 = 1cm2, l'area della parte arancione misura 2 + 4/2 = 4cm2.

L'area del quadrato grande è 3 x 3 = 9 cm2, quindi il rapporto tra la parte in arancione e l'area del quadrato grande è 4 / 9.
Leonardo R fornisce, nella sostanza, la stessa risposta...scritta a mano e fotografata.

Giorgia M scompone la parte arancione e la ricompone formando 4 quadrati. In questo modo riesce a trovare l'area della parte arancione e anche il suo rapporto con quella del quadrato bianco.
Ismaele M trova l'area della parte arancione ma non si prende poi la briga di determinare il rapporto tra le parti. Annota anche a matita che "ci sarebbero altre soluzioni ma non sto a scriverle". Insomma, Pierre de Fermat disponeva di una magnifica dimostrazione di un suo teorema ma gli mancava lo spazio per scriverla, Ismaele dispone di altre soluzioni ma gli manca la voglia. Forse è un omaggio a Fermat?
Anche Sara C divide in quadrati e trova l'area della parte arancione. Non il rapporto.

Ma dicevo prima di una seconda tipologia di soluzioni. Prendo ad esempio la risposta di Viola Q:
La soluzione è 4cm2.

Per prima cosa ho calcolato l'area del quadrato grande, cioè (3cm)2=9cm2.
Poi ho calcolato l'area del quadratino grigio, con lo stesso procedimento, il risultato è 1cm2 
Così al quadrato iniziale ho tolto 1cm2, ottenendo 8cm2.
Ora mi rimanevano due triangoli rettangoli bianchi e la parte arancione. Ho prolungando i lati del quadrato e ho notato che i cateti del triangolo misurano 2cm. Quindi l'area di ogni triangolo è (catetoxcateto):2 =2cm2.
Ho moltiplicato per due e ho sottratto il risulato agli 8cm2 che avevo prima.
Quello che è rimasto è l'area della parte arancione, cioè 4cm2.

Naomi R segue lo stesso procedimento e arriva allo stesso risultato. Ma non si dimentica di trovare il rapporto che c'è tra la parte arancione e la parte bianca: 4/9.
Lo stesso dicasi per Mirko P.

Bene, i miei complimenti vanno a chi ha trovato le soluzioni corrette, ai numerosi -qui non nominati- che ci hanno provato ma stavolta non ce l'hanno fatta e anche a tutti quelli che sono riusciti ad arrivare fino in fondo a questo lungo post.
A tutti va anche l'invito a riprovarci con i prossimi giochi. So che la prof Giovanna li ha già pronti. Non so se deciderà di pubblicarli come regalo di natale o se preferirà tenerli in caldo per il rientro dalle vacanze. Comunque sia, il prossimo appuntamento è su matematicamedie. Ci vediamo di là!

giovedì 26 novembre 2015

Sarà mica matematica 37

Eccoci qua.

È stata una gestazione un po' travagliata ma infine sono pronti i nuovi quesiti.
Voi siete pronti?
Allora, pronti voi, pronti i quesiti: pronti, partenza, via!

IL PRIMO
C'è stato un tempo in cui la scuola media si chiamava Scuola Media.
Non Secondaria di Primo Grado, che suona un po' come se la scuola media cercasse di darsi un tono con un nome complicato. Ma i nomi complicati funzionano quasi sempre male. Infatti tutti continuano a chiamarla scuola media.
Ad ogni modo, ricordo quando frequentavo le scuole medie (sì, è vero, le frequento ancora adesso ma allora ero dall'altra parte della cattedra). Un anno mi ero ripromesso di avere 8 in matematica sulla pagella (che allora si chiamava pagella, non documento di valutazione). Purtroppo però ero pigro e cominciai con un 6. Allora mi diedi da fare e rimediai con un 9.

Restavano ancora due sole verifiche prima della fine del quadrimestre. Quando vidi il voto della terza verifica sospirai pensando “posso ancora riuscire ad avere 8 di media”.
Ora, dovete sapere che il mio prof non dava mezzi voti. Diceva: “Ho ben undici possibili voti tra cui scegliere -da 0 a 10- possono bastarmi.

E con questo avete tutte le informazioni per rispondere alla domanda: qual è il voto minimo che potevo aver preso nella terza verifica?

IL SECONDO 
È un quesito con due domande, una di superficie e una più di profondità. Chi punta in alto cerchi di andare più a fondo.
Ho preso dei quadratini di lato 1 cm. Ne ho presi proprio 37, come il numero di questa puntata di Sarà mica mate. Li ho disposti a formare una scala. La figura qui sotto, fatta di solo 5 quadratini, serve per dare l'idea della disposizione.
 
La domanda di superficie è: quanto è il perimetro della figura completa (37 quadratini)?
La richiesta per chi vuole andare a fondo é: trovate un ragionamento, magari espresso con una formula matematica, che consenta di calcolare con facilità il perimetro qualunque sia il numero di quadratini. Potremmo dire: qual è il perimetro della figura di n quadratini? Dove n è un numero naturale qualunque.


IL TERZO 
La figura mostra due quadrati disposti con lo stesso centro e con i lati corrispondenti paralleli. Il quadrato bianco ha lato 3cm, quello grigio ha lato 1cm.La parte arancione è delimitata da due linee parallele alla diagonale del quadrato e passanti per due vertici del quadrato grigio.
La domanda è: quanto misura l'area della parte arancione?

Anche qui c'è una domanda per chi vuole andare più a fondo, è rivolta a secondini e terzini (ma se vogliono anche i primini possono rispondere).
Quale frazione del quadrato grande è colorata di arancione? In altre parole: qual è il rapporto tra area della parte arancione e area del quadrato grande?

...ed eccoci qua.
I quesiti sono sul tavolo. Voi invece dovreste essere ormai a letto, a quest'ora. Io sto per andarci, voglio riposarmi in previsione del gran lavoro che avrò per correggere le valanghe di risposte che mi manderete.
Le aspetto fino a venerdì 11 dicembre.



mercoledì 25 novembre 2015

Due a settimana..._13, le nostre soluzioni

Ci abbiamo messo un po'.

Un po' troppo, forse. Ma dopo aver invitato, chiesto, sollecitato, esortato, pungolato (et cetera, continuate con verbi simili per un po'), mi devo rassegnare: le nostre risposte agli ultimi quesiti della prof Giovanna sono poche poche. Superata la delusione, vediamo le risposte. 

QUESITO 1 
Il più "cattivo", a detta di molti. Sei persone sono riuscite a risolverlo, molte con un aiuto "dall'alto" piuttosto corposo.
Cominciamo dalla risposta: i cinque numeri nel giusto ordine sono 7, 4, 6, 5, 8.
Così scrive Stefano P, il quale continua: 
Infatti: 
5° + 3° = 14 (8 + 6 = 14);
4° = 2° + 1 (5 = 4 + 1);
1° = 2 x 2° - 1 (7 = 4 x 2 - 1);
2° + 3° = 10 (4 + 6  = 10);
1° + 2° + 3° + 4° + 5° = 30 (7 + 4 + 6 + 5 + 8 = 30).

In altre parole, Stefano enuncia le cinque "chiavi" del quesito e mostra come, sostituendo i numeri giusti, tutto torna. Non spiega come ha trovato i numeri giusti. Forse per tentativi. 

Per tentativi è andato Alberto C, il quale dichiara con chiarezza: “dopo molti tentativi la fortuna si è girata dalla nostra parte” e “non so come ho fatto, con molti calcoli ho capito la soluzione”. 

Qualcun'altro ha tentato un ragionamento più elaborato. Io tenterò invece un collage tra le varie risposte. 
Naomi R scrive: “ho sostituito i numeri con delle lettere e ho provato a tradurre le “chiavi” in espressioni.
Chiave 1: E + C = 14 => E = 14 – C
Chiave 2: D = B+1
Chiave 3: A = 2B – 1
Chiave 4: B + C=10  =>  C = 10 – B
Chiave 5: A + B + C + D + E = 30

Lo stesso fa Marco V: “ho trasformato il problema in lettere, ho seguito le indicazioni che dava, ho messo le indicazioni in un'equazione e ho trovato la lettera B”. Cioè da qui in poi Marco ha impostato e risolto un'equazione in B.

È quello che dichiara anche Viola Q: “Per prima cosa ho scoperto che se io avessi trovato la B, sarei poi riuscita a trovare anche tutte le altre lettere della sequenza. Così ho preso tutti i numeri nascosti e li ho sostituiti con la loro formula di risoluzione con la B e li ho riportati tutti di fila. E' uscito questo: 
2B-1)+ B + (10-B) +(B+1) +( 14 –(10-B)) =30

Dopodiché ho levato le parentesi e ho annullato i numeri relativi opposti (in rosso i numeri opposti da togliere):
2B-1+B+10 – B+B+1+14 -10+B =30

Ora che mi sono rimaste solo le B, le ho sommate
4B +14 = 30

Ora ho spostato il 14 dalla parte dell'altra parte dell'uguale, in modo da isolare le B:
4B = 30 - 14
4B = 16

Ora ho diviso per 4, per trovare il valore della B:
B = 16:4 = 4
  Ora, scoperto il valore di B, "il resto dei numeri esce facilmente" (parola di Marco V).
A = 2B - 1 = (2X4)-1 = 8-1 = 7
B = 4
C = 10 -B = 10 - 4 = 6
D = B + 1 = 4 + 1 = 5
E = 14 - C = 14 - 6 = 8

Alcune precisazioni.
La prima: Naomi ha risolto in maniera leggermente diversa, determinando prima il valore di A con una serie di passaggi più elaborati che non riporto, per poi calcolare il valore delle altre lettere.
La seconda: ha fornito una soluzione corretta anche Mirko P, il quale imposta un’equazione con cui arriva a stabilire che il terzo numero della sequenza dev’essere 6. Da qui riesce poi ad arrivare alla sequenza completa. Giuro però che a un certo punto mi perdo nei suoi passaggi. Sarà che mentre leggo è quasi mezzanotte e ho la mente offuscata!
Terza e ultima precisazione: Viola ha commesso un paio di piccoli errori di segno nell’impostare l'equazione iniziale (che io ho corretto nella versione pubblicata qui sopra). Ha risolto con efficacia applicando in maniera autonoma concetti incontrati in classe durante le lezioni di algebra (calcolo con i numeri relativi) e geometria (come trovare le formule inverse). Però, a causa degli errori di impostazione, il risultato non è quello atteso, così Viola conclude: “ora so che non mi è uscito, però il ragionamento mi sembrava giusto”.
Io concludo che non solo il ragionamento era giusto, è giusto anche rendere merito a chi ha lavorato con le proprie forze e con onestà.

QUESITO 2 
Anche in questo caso abbiamo raccolto poche risposte. I più si limitano a un elenco di numeri. Solo qualcuno abbozza una frasetta o due di spiegazione, perlopiù in un italiano traballante. Non mi è bastato assemblare diversi spezzoni di frase, ho dovuto anche correggere la grammatica, la sintassi, l’ortografia, il lessico e pure la morfologia. Se lo sapesse la prof di lettere…!

Ad ogni modo, questo è il risultato migliore che riesco a ottenere. 
La somma dei lati più corti del triangolo deve essere maggiore della lunghezza del lato più lungo (Mirko P). Pertanto il lato più lungo non può superare 10 fiammiferi (Alessia V). Tenuto conto di questo fatto, si possono costruire 12 triangoli diversi con queste combinazioni di 21 fiammiferi nei lati (Stefano P): 
10,10,1;
10,9,2;
10,8,3;
10,7,4;
10,6,5;
9,9,3;
9,8,4;
9,7,5;
9,6,6;
8,8,5;
8,7,6;
7,7,7. 

Naomi R racconta un pizzico di più: “per risolvere questo quesito inizialmente mi sono aiutata con due squadre e 21 stecchini, poi ho capito che era un insieme di combinazioni e perciò mi sono costruita una tabella partendo dal numero più grande che il lato del triangolo può assumere…”. Naomi non racconta frottole, ci ha provato davvero con squadre e stecchini. Infatti allega anche una foto.


Niente altro da dire.

Hanno trovato la soluzione Alberto C, Alessia V, Gaia C, Marco V, Mirko P, Naomi R e Stefano P.
Viola Q si è fermata a 11 combinazioni.
QUESITO 3 
Cominciamo stavolta con l’elenco dei solutori: Alberto C, Alessia V, Gaia C, Marco V, Mirko P, Naomi R, Stefano P e Viola Q. 
Per illustrare la soluzione sfrutto parole e disegno tratti dalla mail di Stefano P. 
Ho notato che mettendo come carta mancante un numero che è la somma dei due precedenti, questa regola va bene anche per la carta successiva: 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, quindi il suo valore è 8.
Il simbolo da scegliere è quello mancante dei 4. La carta girata è quindi quella disegnata qui:
  
Naomi R usa parole analoghe: "l'unico seme che manca è quello di fiori. Il numero è dato dalla somma dei due precedenti". 
Tutti gli altri rispondono qualcosa di simile ma danno per scontato che il seme debba essere fiori. Ad esempio, Alberto C scrive: "nel terzo quesito la carta mancante, la terza, è l'8 di FIORI perché 3+5=8 e 5+8=13". 
Gaia C ha riconosciuto che, come suggerito anche dalla prof Giovanna, si tratta della famosissima successione di Leonardo Pisano detto il Fibonacci. Infatti, dichiara Gaia senza premesse né conclusioni: "la sequenza di Fibonacci continua all’infinito". 

L’argomento è di grande interesse e troveremo il modo di chiacchierarne un po’ anche a lezione. 
Per ora colgo lo spunto per mostrarvi un bel filmato in cui Arthur Benjamin, professore di matematica in California e matemago, dichiara: la matematica è la scienza degli schemi, e la studiamo per imparare a pensare con logica, in modo critico e creativo, ma troppa della matematica che impariamo a scuola non viene motivata per niente, e quando i nostri studenti ci chiedono: "Perché la stiamo studiando?" spesso hanno come risposta che servirà loro nella prossima lezione di matematica o in un prossimo compito in classe. Ma non sarebbe grandioso se di tanto in tanto facessimo della matematica semplicemente perché è divertente o bella e perché stimola l'intelletto? So che molte persone non hanno avuto modo di vedere come ciò sia possibile, per cui permettetemi di darvi un breve esempio con la mia serie di numeri preferita, la serie di Fibonacci. 

Vi invito a mollare tutto per 6 minuti e mezzo, concentrarvi e godervi lo spettacolo. 





Chissà che con questo non vi venga voglia di partecipare con più zelo ai prossimi giochi di Sarà mica matematica. Li troverete qui domani (forse dopodomani, chissà). 
Ah, consiglio anche di andare a dare un’occhiata alle risposte dei ragazzi della prof Giovanna. Non le ho lette (al momento in cui scrivo non sono ancora state pubblicate) ma sono sicuro che troverete qualcosa di interessante!