giovedì 26 novembre 2015

Sarà mica matematica 37

Eccoci qua.

È stata una gestazione un po' travagliata ma infine sono pronti i nuovi quesiti.
Voi siete pronti?
Allora, pronti voi, pronti i quesiti: pronti, partenza, via!

IL PRIMO
C'è stato un tempo in cui la scuola media si chiamava Scuola Media.
Non Secondaria di Primo Grado, che suona un po' come se la scuola media cercasse di darsi un tono con un nome complicato. Ma i nomi complicati funzionano quasi sempre male. Infatti tutti continuano a chiamarla scuola media.
Ad ogni modo, ricordo quando frequentavo le scuole medie (sì, è vero, le frequento ancora adesso ma allora ero dall'altra parte della cattedra). Un anno mi ero ripromesso di avere 8 in matematica sulla pagella (che allora si chiamava pagella, non documento di valutazione). Purtroppo però ero pigro e cominciai con un 6. Allora mi diedi da fare e rimediai con un 9.

Restavano ancora due sole verifiche prima della fine del quadrimestre. Quando vidi il voto della terza verifica sospirai pensando “posso ancora riuscire ad avere 8 di media”.
Ora, dovete sapere che il mio prof non dava mezzi voti. Diceva: “Ho ben undici possibili voti tra cui scegliere -da 0 a 10- possono bastarmi.

E con questo avete tutte le informazioni per rispondere alla domanda: qual è il voto minimo che potevo aver preso nella terza verifica?

IL SECONDO 
È un quesito con due domande, una di superficie e una più di profondità. Chi punta in alto cerchi di andare più a fondo.
Ho preso dei quadratini di lato 1 cm. Ne ho presi proprio 37, come il numero di questa puntata di Sarà mica mate. Li ho disposti a formare una scala. La figura qui sotto, fatta di solo 5 quadratini, serve per dare l'idea della disposizione.
 
La domanda di superficie è: quanto è il perimetro della figura completa (37 quadratini)?
La richiesta per chi vuole andare a fondo é: trovate un ragionamento, magari espresso con una formula matematica, che consenta di calcolare con facilità il perimetro qualunque sia il numero di quadratini. Potremmo dire: qual è il perimetro della figura di n quadratini? Dove n è un numero naturale qualunque.


IL TERZO 
La figura mostra due quadrati disposti con lo stesso centro e con i lati corrispondenti paralleli. Il quadrato bianco ha lato 3cm, quello grigio ha lato 1cm.La parte arancione è delimitata da due linee parallele alla diagonale del quadrato e passanti per due vertici del quadrato grigio.
La domanda è: quanto misura l'area della parte arancione?

Anche qui c'è una domanda per chi vuole andare più a fondo, è rivolta a secondini e terzini (ma se vogliono anche i primini possono rispondere).
Quale frazione del quadrato grande è colorata di arancione? In altre parole: qual è il rapporto tra area della parte arancione e area del quadrato grande?

...ed eccoci qua.
I quesiti sono sul tavolo. Voi invece dovreste essere ormai a letto, a quest'ora. Io sto per andarci, voglio riposarmi in previsione del gran lavoro che avrò per correggere le valanghe di risposte che mi manderete.
Le aspetto fino a venerdì 11 dicembre.



mercoledì 25 novembre 2015

Due a settimana..._13, le nostre soluzioni

Ci abbiamo messo un po'.

Un po' troppo, forse. Ma dopo aver invitato, chiesto, sollecitato, esortato, pungolato (et cetera, continuate con verbi simili per un po'), mi devo rassegnare: le nostre risposte agli ultimi quesiti della prof Giovanna sono poche poche. Superata la delusione, vediamo le risposte. 

QUESITO 1 
Il più "cattivo", a detta di molti. Sei persone sono riuscite a risolverlo, molte con un aiuto "dall'alto" piuttosto corposo.
Cominciamo dalla risposta: i cinque numeri nel giusto ordine sono 7, 4, 6, 5, 8.
Così scrive Stefano P, il quale continua: 
Infatti: 
5° + 3° = 14 (8 + 6 = 14);
4° = 2° + 1 (5 = 4 + 1);
1° = 2 x 2° - 1 (7 = 4 x 2 - 1);
2° + 3° = 10 (4 + 6  = 10);
1° + 2° + 3° + 4° + 5° = 30 (7 + 4 + 6 + 5 + 8 = 30).

In altre parole, Stefano enuncia le cinque "chiavi" del quesito e mostra come, sostituendo i numeri giusti, tutto torna. Non spiega come ha trovato i numeri giusti. Forse per tentativi. 

Per tentativi è andato Alberto C, il quale dichiara con chiarezza: “dopo molti tentativi la fortuna si è girata dalla nostra parte” e “non so come ho fatto, con molti calcoli ho capito la soluzione”. 

Qualcun'altro ha tentato un ragionamento più elaborato. Io tenterò invece un collage tra le varie risposte. 
Naomi R scrive: “ho sostituito i numeri con delle lettere e ho provato a tradurre le “chiavi” in espressioni.
Chiave 1: E + C = 14 => E = 14 – C
Chiave 2: D = B+1
Chiave 3: A = 2B – 1
Chiave 4: B + C=10  =>  C = 10 – B
Chiave 5: A + B + C + D + E = 30

Lo stesso fa Marco V: “ho trasformato il problema in lettere, ho seguito le indicazioni che dava, ho messo le indicazioni in un'equazione e ho trovato la lettera B”. Cioè da qui in poi Marco ha impostato e risolto un'equazione in B.

È quello che dichiara anche Viola Q: “Per prima cosa ho scoperto che se io avessi trovato la B, sarei poi riuscita a trovare anche tutte le altre lettere della sequenza. Così ho preso tutti i numeri nascosti e li ho sostituiti con la loro formula di risoluzione con la B e li ho riportati tutti di fila. E' uscito questo: 
2B-1)+ B + (10-B) +(B+1) +( 14 –(10-B)) =30

Dopodiché ho levato le parentesi e ho annullato i numeri relativi opposti (in rosso i numeri opposti da togliere):
2B-1+B+10 – B+B+1+14 -10+B =30

Ora che mi sono rimaste solo le B, le ho sommate
4B +14 = 30

Ora ho spostato il 14 dalla parte dell'altra parte dell'uguale, in modo da isolare le B:
4B = 30 - 14
4B = 16

Ora ho diviso per 4, per trovare il valore della B:
B = 16:4 = 4
  Ora, scoperto il valore di B, "il resto dei numeri esce facilmente" (parola di Marco V).
A = 2B - 1 = (2X4)-1 = 8-1 = 7
B = 4
C = 10 -B = 10 - 4 = 6
D = B + 1 = 4 + 1 = 5
E = 14 - C = 14 - 6 = 8

Alcune precisazioni.
La prima: Naomi ha risolto in maniera leggermente diversa, determinando prima il valore di A con una serie di passaggi più elaborati che non riporto, per poi calcolare il valore delle altre lettere.
La seconda: ha fornito una soluzione corretta anche Mirko P, il quale imposta un’equazione con cui arriva a stabilire che il terzo numero della sequenza dev’essere 6. Da qui riesce poi ad arrivare alla sequenza completa. Giuro però che a un certo punto mi perdo nei suoi passaggi. Sarà che mentre leggo è quasi mezzanotte e ho la mente offuscata!
Terza e ultima precisazione: Viola ha commesso un paio di piccoli errori di segno nell’impostare l'equazione iniziale (che io ho corretto nella versione pubblicata qui sopra). Ha risolto con efficacia applicando in maniera autonoma concetti incontrati in classe durante le lezioni di algebra (calcolo con i numeri relativi) e geometria (come trovare le formule inverse). Però, a causa degli errori di impostazione, il risultato non è quello atteso, così Viola conclude: “ora so che non mi è uscito, però il ragionamento mi sembrava giusto”.
Io concludo che non solo il ragionamento era giusto, è giusto anche rendere merito a chi ha lavorato con le proprie forze e con onestà.

QUESITO 2 
Anche in questo caso abbiamo raccolto poche risposte. I più si limitano a un elenco di numeri. Solo qualcuno abbozza una frasetta o due di spiegazione, perlopiù in un italiano traballante. Non mi è bastato assemblare diversi spezzoni di frase, ho dovuto anche correggere la grammatica, la sintassi, l’ortografia, il lessico e pure la morfologia. Se lo sapesse la prof di lettere…!

Ad ogni modo, questo è il risultato migliore che riesco a ottenere. 
La somma dei lati più corti del triangolo deve essere maggiore della lunghezza del lato più lungo (Mirko P). Pertanto il lato più lungo non può superare 10 fiammiferi (Alessia V). Tenuto conto di questo fatto, si possono costruire 12 triangoli diversi con queste combinazioni di 21 fiammiferi nei lati (Stefano P): 
10,10,1;
10,9,2;
10,8,3;
10,7,4;
10,6,5;
9,9,3;
9,8,4;
9,7,5;
9,6,6;
8,8,5;
8,7,6;
7,7,7. 

Naomi R racconta un pizzico di più: “per risolvere questo quesito inizialmente mi sono aiutata con due squadre e 21 stecchini, poi ho capito che era un insieme di combinazioni e perciò mi sono costruita una tabella partendo dal numero più grande che il lato del triangolo può assumere…”. Naomi non racconta frottole, ci ha provato davvero con squadre e stecchini. Infatti allega anche una foto.


Niente altro da dire.

Hanno trovato la soluzione Alberto C, Alessia V, Gaia C, Marco V, Mirko P, Naomi R e Stefano P.
Viola Q si è fermata a 11 combinazioni.
QUESITO 3 
Cominciamo stavolta con l’elenco dei solutori: Alberto C, Alessia V, Gaia C, Marco V, Mirko P, Naomi R, Stefano P e Viola Q. 
Per illustrare la soluzione sfrutto parole e disegno tratti dalla mail di Stefano P. 
Ho notato che mettendo come carta mancante un numero che è la somma dei due precedenti, questa regola va bene anche per la carta successiva: 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, quindi il suo valore è 8.
Il simbolo da scegliere è quello mancante dei 4. La carta girata è quindi quella disegnata qui:
  
Naomi R usa parole analoghe: "l'unico seme che manca è quello di fiori. Il numero è dato dalla somma dei due precedenti". 
Tutti gli altri rispondono qualcosa di simile ma danno per scontato che il seme debba essere fiori. Ad esempio, Alberto C scrive: "nel terzo quesito la carta mancante, la terza, è l'8 di FIORI perché 3+5=8 e 5+8=13". 
Gaia C ha riconosciuto che, come suggerito anche dalla prof Giovanna, si tratta della famosissima successione di Leonardo Pisano detto il Fibonacci. Infatti, dichiara Gaia senza premesse né conclusioni: "la sequenza di Fibonacci continua all’infinito". 

L’argomento è di grande interesse e troveremo il modo di chiacchierarne un po’ anche a lezione. 
Per ora colgo lo spunto per mostrarvi un bel filmato in cui Arthur Benjamin, professore di matematica in California e matemago, dichiara: la matematica è la scienza degli schemi, e la studiamo per imparare a pensare con logica, in modo critico e creativo, ma troppa della matematica che impariamo a scuola non viene motivata per niente, e quando i nostri studenti ci chiedono: "Perché la stiamo studiando?" spesso hanno come risposta che servirà loro nella prossima lezione di matematica o in un prossimo compito in classe. Ma non sarebbe grandioso se di tanto in tanto facessimo della matematica semplicemente perché è divertente o bella e perché stimola l'intelletto? So che molte persone non hanno avuto modo di vedere come ciò sia possibile, per cui permettetemi di darvi un breve esempio con la mia serie di numeri preferita, la serie di Fibonacci. 

Vi invito a mollare tutto per 6 minuti e mezzo, concentrarvi e godervi lo spettacolo. 





Chissà che con questo non vi venga voglia di partecipare con più zelo ai prossimi giochi di Sarà mica matematica. Li troverete qui domani (forse dopodomani, chissà). 
Ah, consiglio anche di andare a dare un’occhiata alle risposte dei ragazzi della prof Giovanna. Non le ho lette (al momento in cui scrivo non sono ancora state pubblicate) ma sono sicuro che troverete qualcosa di interessante!
 

lunedì 2 novembre 2015

Due a settimana... numero 13!

Aveva detto che li avrebbe pubblicati oggi.

E la prof Giovanna ha mantenuto la parola: abbiamo i tre nuovi quesiti di Due a settimana...!

Cari amici, mettetevi sotto perché c'è da ragionare, sono quesiti di prima scelta. Si parla di codici di accesso, combinazioni triangolari e fiammiferi, carte da gioco e sequenze logiche.

Non vi basta ancora per cominciare subito a ragionarci su?
Allora, come altro incentivo, vi regalo anche questa immagine tratta dal terzo quesito.
http://matematicamedie.blogspot.it/2015/11/due-settimana13.html 
Impossibile resistere: cliccateci sopra e verrete teletrasportati su Matematicamedie. Poi non resta che leggere con attenzione e mettersi a pensare, riflettere, congetturare, arguire.

Allora, perché non sento ancora i vostri mumble mumble? Perché non percepisco il CiGoLiO delle vostre rotelline mentali?
Forza, forza. Avete tempo soltanto fino al 16 novembre!