domenica 24 aprile 2016

Sarà mica matematica 40

La vita comincia a quarant'anni, dicono.
Noi invece a quaranta finiamo. La stagione, s'intende.

In altre parole: questa è la puntata numero quaranta di Sarà mica matematica ed è anche l'ultima per questa stagione. Lasciamo quel che resta dell'anno scolastico - un mese e qualche briciola - alle canoniche grandi manovre di chiusura dell'annata.

Ciò detto, possiamo cominciare con i due quesiti di questa puntata.

IL PRIMO

Sembra un quesito geometrico ma a guardare bene tanto geometrico non è. Più che altro è una scusa per festeggiare la quarantesima puntata.

Cominciamo con un triangolo equilatero la cui area è 1 (se vi torna comodo usate il cm2 come unità di misura).
Con altri triangolini identici costruisco un triangolo che ha per base due triangolini.
Poi ne costruisco uno con tre triangolini alla base.
Continuo con uno con quattro triangolini alla base.
La sequenza potrebbe continuare all'infinito. Noi ci fermeremo prima. A quale numero?
Giusto, siccome questa è la puntata numero 40, ci fermiamo al triangolo che ha per base 40 triangolini.

Ora, prima delle domande, osserviamo le figure. Sono composte da tanti triangolini equilateri, alcuni arancioni, altri bianchi.

Ed ecco le domande a proposito del triangolone con quaranta triangolini alla base:
1) qual è l'area totale del triangolone?
2) quanti triangolini bianchi contiene?

Come al solito non si tratta di costruire davvero un triangolone di base 40... si tratta piuttosto di scoprire una regolarità e fare qualche piccolo calcolo.

Qualche suggerimento.
I più sgamati avranno senz'altro riconosciuto i numeri triangolari... stavolta costruiti con i triangolini!
Di Gauss e dei numeri triangolari abbiamo parlato qualche giorno fa in prima. In seconda e terza se ne era già parlato in passato ma vedremo di rinfrescare un po' l'argomento nei prossimi giorni.
Se nel frattempo qualcuno volesse approfondire un po'  l'argomento (e trovare spunti, spuntini e spuntoni per risolvere il quesito) faccio notare che su Matematicamedie, il blog della prof Giovanna c'è molto materiale utile. Ad esempio potreste leggere qui,  qui  e qui. Ma anche qui e magari qui. Se invece preferite la solita Wikipedia, provate qui e, perché no, qui.


IL SECONDO

Tutto è curioso in matematica, ma solo dopo aver tolto ogni aspetto legato alla noiosa necessità.
(Da 103 curiosità matematiche, di G. Balzarotti e P. P. Lava)

Come dite? Perché inizio il quesito con una citazione?
Beh, intanto perché mi piacciono le citazioni. Poi per un'altra buona ragione. Che però non ho intenzione di rivelare, per ora. Ne riparleremo al momento di dare le soluzioni ai due quesiti di questa puntata.


Considerate il numero 2020.
È un bel numero, no? Ha una bella forma, con una certa regolarità, una certa rotondità. Ma c'è qualcos'altro  che lo rende particolare: è un numero che si racconta.

La prima cifra ci dice quanti 0 ci sono nel numero.
La seconda cifra ci dice quanti 1 ci sono nel numero.
La terza cifra ci dice quanti 2 ci sono.
La quarta cifra ci dice quanti 3 ci sono... e così via.

Facciamo la prova?
Prima cifra: 2. Ci sono due 0 nel numero.
Seconda cifra: 0. Non ci sono 1 nel numero.
Terza cifra: 2. Ci sono due 2 nel numero.
Quarta cifra: 0. Non ci sono 3.

Curioso, no?.

E non è una cosa da poco: di tutti gli infiniti numeri, solo sette ci parlano di se stessi in questo modo:

6210001000
521001000
42101000
3211000
21200
2020


Come dite? Ne ho elencati solo sei?
Certo. E avete anche intuito il motivo?
Proprio così! Il numero che manca dovete scoprirlo voi!
Vi posso dare un suggerimento: il numero mancante è il più piccolo dei sette.

Non dovrei nemmeno dirlo ma lo dico lo stesso: bisogna spiegare il ragionamento fatto per trovare la risposta. Anche la risposta va raccontata, insomma.

Resta da stabilire la data di scadenza. Facciamo il 10 maggio? Giorno più, giorno meno, s'intende.
Perché la matematica non è un'opinione ma questa... sarà mica matematica!

mercoledì 20 aprile 2016

Due a settimana..._16, le nostre soluzioni



Proprio non mi spiego come mai io sia di buonumore.
Forse si sentivano così i musicisti dell’orchestra del Titanic. Continuavano a suonare mentre la nave inaffondabile affondava.

 
Pochi motivi giustificano questa allegria. Forse soltanto la primavera fuori dalla mia finestra. 

La scadenza dei giochi matematici di Due a settimana…_16 è ampiamente passata. La prof Giovanna ha pubblicato le risposte dei suoi ragazzi, ottime e abbondanti. Io guardo le risposte dei “miei” ragazzi: cinque in tutto, quasi tutte piuttosto striminzite.  

Eppure resto di buonumore. E non so proprio perché.
Forse perché per una volta si tratterà di scrivere un post piuttosto veloce. Rapido da scrivere e anche da leggere. È facile, basta passare in rassegna le risposte ai due quesiti.
 

IL PRIMO
Facciamo passare in ordine di arrivo.

Stefano P: per sapere a quale numero corrisponde il 2016° numero provo a continuare la serie. Ogni 8 numeri la serie si ripete e da come risultato 89. Dato che il numero 2016 è divisibile per 8, il risultato sarà 89.

6° = 22 + 52 = 29
7° = 22 + 92 = 85
8° = 82 + 52 = 89
9° = 82 +92 = 145
10° = 12 + 42 + 52 = 42
11° = 42 + 22 = 20
12° = 22 + 02 = 4
13° = 42 = 16
14° = 12 + 62 = 37
15° = 32 + 72 = 58
16° = 52 + 82 = 89
17° = 82 +92 = 145
18° = 12 + 42 + 52 = 42
19° = 42 + 22 = 20
20° = 22 + 02 = 4
...
24° = 89
...
32° = 89
...
40° = 89
...
2016° = 89

Mattia C: i numeri si ripetono.
Caro Mattia, a volte può essere molto efficace lasciare sottintese alcune parti del discorso. Forse stavolta hai un pizzico esagerato con il “non detto”.


Naomi R comincia con un elenco che io ho trasformato in immagine.

 

Dopodiché Naomi spiega: ai numeri totali, che sono 2016, tolgo i primi 7 perché non si ripetono, perciò: 2016-7=2009.
Ho visto che dall’ 8° numero in poi si ripete una sequenza formata da 8 numeri. Per vedere quante volte si ripete questa sequenza faccio: 2009:8=251 con il resto di 1.
Quindi l’ultima sequenza ricomincerà con un numero che è il primo numero di ogni pacchetto, cioè 89=
52+82



Nelson R mi consegna un foglio scritto a mano. Vista la situazione posso perfino trascrivere le sue parole:
per me il 2016° numero è 89 perché, se vai avanti a fare i calcoli, scopri che dopo ogni otto numeri esce sempre il numero 89


Mi voglio rovinare, aggiungo anche una scansione del foglio!


Alberto C: Ho calcolato la somma delle potenze di ogni numero finché ho trovato che ogni otto numeri esce 89 come costante quindi il 2016 numero sarà 89.
Per essere pignoli: nelle risposte di Nelson e Alberto manca una parte del ragionamento: se ogni otto numeri si ripresenta 89, come posso sapere che il 2016° sarà proprio 89?
 
IL SECONDO
Stefano P allega l’immagine che riporto qui sotto e spiega:


Per calcolare l'area della stella la divido in 4 triangoli: ABC, ABD, EFG e HIL. Se ogni quadratino ha l'area d 25 mm2, il suo lato sarà la radice quadrata di 25 cioè 5 mm.

Inizio con l'area di ADBC calcolando l'area del triangolo ABC e sottraendo quella di ABD.
Area ABC (che ha 6 quadratini di base e 6 di altezza) = (30 x 30) : 2 = 450
mm2.
Area ABD = (30 x 10) : 2 = 150
mm2.
Area ADBC = 450 - 150 = 300
mm2.
Adesso calcolo l'area di EFG (che è uguale a quella di HIL perché hanno la stessa base e la stessa altezza): (10 x 5) : 2 = 25
mm2.
L'area della stella è la somma di ADBC + EFG + HIL = 300 + 25 + 25 = 350
mm2.

 
Mattia C spiega: Per calcolare l'area della stella stella basta calcolare l'area dei quadrati di cui è formata e dei triangoli rettangoli. 
Bene, poi però sbaglia qualcosa con i calcoli…

Naomi R fornisce una spiegazione dettagliata. Purtroppo fa riferimento a un’immagine che non ha inviato. Quella qui sotto è una mia ricostruzione.

Ho deciso di togliere le parti bianche dall’area del quadrato ABCD per trovare l’area della stella. 
Ogni quadratino ha il lato di 5mm, la stella è simmetrica quindi AEFH=EBLJ e HGD=LKC.

Area trapezio AEFH = (B+b)
x h : 2 = (15+10) x 10 : 2 = 125
mm2.
Area triangolo DIC = b x h : 2 = 30x10 : 2 = 150 mm2.

L’area del triangolo HGD la trovo togliendo dal triangolo AED, l’area del trapezio AEFH e quella del triangolo HFG.
Area triangolo HFG = 10
x 5 : 2 = 25
mm2.
Area triangolo AED = 15
x 30 : 2 = 225
mm2.
Area triangolo HGD = AED - (AEFH+HFG) = 225 - (125+25) = 75
mm2.

Quindi la parte bianca ha un’area di 125
x2 + 75x2 + 150 = 250 + 150 + 150 = 550
mm2.

Area quadrato ABCD = 36
x 25 = 900
mm2.

Area stella = 900 - 550 = 350
mm2.
 
Alberto C sintetizza sintetizza, sintetizza fin troppo: ho cercato e ricomposto i quadrati all'interno della stella e ho visto che sono 14 quindi ho fatto 14 x 25 , i millimetri quadrati di ogni quadrato, e il risultato è 350 mm2. L'area della stella è 350 mm2.
…e basta. Nient'altro da dire.
Se non ringraziare la prof Giovanna per averci offerto un'altra occasione di ragionare e complimentarmi con chi ha sfruttato l'opportunità.

Come già anticipato dalla prof Giovanna, tocca a me proporre gli ultimi quesiti di questa stagione. Sarà la puntata numero quaranta di Sarà mica matematica (!)
Un quesito l'ho già in mente, più o meno. Un altro lo troverò.
Sempre ammesso che nel frattempo la nave non sia affondata.