martedì 13 febbraio 2018

Sarà mica matematica 45, le soluzioni

Saran belli, i giochi matematici, ma hanno un grosso difetto: prima o poi arriva il momento in cui bisogna leggere tutte le risposte che sono arrivate. E correggere, analizzare, valutare, selezionare, commentare, eventualmente modificare un tantino.
È un lavoraccio! Molto più divertente costruire i quesiti che raccogliere in un post tutte le risposte. Certo, se va bene, a volte capita qualche piccola sorpresa, come è stato in questo caso.
Se volete scoprire di quale sorpresa sto parlando non vi resta che procedere alla lettura delle soluzioni ai quesiti.

IL PRIMO

Ivan R (prima B) ha scelto il metodo della verifica pratica, semplice ma efficace: ho ritagliato le figure e provato a costruire una piramide.
Ho scoperto che con a, b, c, e, f posso formare una piramide, mentre con la figura d non si riesce: ho colorato di rosso la faccia che “non torna”, perché si sovrappone alla faccia opposta.


Ecco l'immagine allegata da Ivan.
La stessa risposta arriva anche da Alessandro Pa, Alessandro Pi, Andrea G, Daniele S, Edoardo O, Greta V, Irene T, e Martina P.


IL SECONDO

Edoardo O (terza B) scrive in modo conciso e chiaro: per trovare l’area del rettangolo si moltiplica il valore della base per quello dell’altezza, quindi in questo caso 12=4x3=6x2=1x12.
Perciò i perimetri possibili sono:
4cm+4cm+3cm+3cm=14cm,
6cm+6cm+2cm+2cm=16cm,
12cm+12cm+1cm+1cm=26cm (perimetro massimo)

Ivan R (prima B) si aiuta costruendo una figura:
e si lancia in una spiegazione:
L’area del rettangolo è AB x BC = 12cmq. Quindi: AB = 12 : BC.
Il perimetro è: (AB + BC) x 2
Provo a sostituire il valore massimo ed il valore minimo come misura dei lati per ottenere un’area di 12cmq e calcolo il relativo perimetro.

Se: BC = 1 allora AB = 12 
Quindi: P = (12+1) x 2 = 26cm 

Se: BC = 12 allora AB = 1 
Quindi: P = (1+12) x 2 = 26cm 

Se: BC = 4 allora AB = 3 
Quindi: P = (4+3) x 2 = 14cm 

Se: BC = 3 allora AB = 4 
Quindi: P = (3+4) x 2 = 14cm 

Conclusione: il valore massimo del perimetro del rettangolo ABCD è 26cm

Hanno risposto correttamente (ma molti non spiegano come ci sono arrivati!): Alessandro Pa, Alessandro Pi, Alice D, Andrea G, Daniele S, Greta V, Noemi N, Simone S.


IL TERZO

La prima parte del quesito chiedeva di trovare tutti i possibili percorsi di una pedina sistemata nella casella in alto a sinistra.

Andrea G (seconda B) arriva diretto al punto con questa immagine: otto possibili percorsi (per la verità lui ne aveva individuati 9 ma ho eliminato un doppione che gli era sfuggito)

Daniele S, Emma C, Greta V , Lisa S, Simone S, trovano gli stessi otto percorsi ma li consegnano su carta, il che rende difficoltoso pubblicarli.
Alessandro Pa, Alessandro Pi e Irene T ne individuano sette.
Alberto C, Noemi N, Pietro DR scoprono sei percorsi (Alberto però non li disegna, quindi chissà quali sono).
Ivan R (prima B) invia un file con cinque percorsi. Eccoli.
Trovano cinque percorsi anche Nihad K e Iman B.
Edoardo O commenta: si può risolvere facilmente e infatti trova una soluzione. Una sola, forse non ha letto con abbastanza attenzione la domanda o forse ha pensato che le altre soluzioni fossero troppo facili :-D

La seconda parte del quesito chiedeva di fare lo stesso con una pedina messa nella casella di centro-sinistra (senza riferimenti politici, giuro), come nell'immagine.
Tra le righe si intuiva che completare un percorso è impossibile. Infatti tutti quelli che ci hanno provato sono giunti a questa conclusione. Molto più complicato era spiegare perché è impossibile (forse un po' troppo complicato, lo ammetto).

Il tentativo più originale di spiegazione è forse quello di Martina P (terza B), la quale risponde con la foto di una schermata geogebra (perché non il file originale? Non so, pare che tra i giovani di oggi si usi così) in cui ha costruito tre percorsi.
Un paio di frasi di spiegazione sarebbero state di aiuto. Ma intuisco che il significato è all'incirca questo: se parto dalla casella di centro-sinistra (quella senza riferimenti politici) ho due possibilità:
1) a un certo punto sono costretto a muovermi in diagonale;
2) una casella rimane tagliata fuori.
In entrambi i casi non riesco a completare un percorso valido.

Ecco, gli altri tentativi di spiegazione, a parole anziché per immagini, si assomigliano un po' tutti e dicono, in sostanza le stesse cose: "perché avanza uno spazio", "rimarrà sempre una casella vuota", "per arrivare nell'ultima casella dovrei passare in diagonale andando contro la regola"...

Arrivano a questa conclusione Alberto C, Alessandro Pa, Alessandro Pi, Alice D, Andrea G, Daniele S, Edoardo O, Emma C, Giada M, Greta V, Iman B, Irene T, Ivan R, Lisa S, Nihad K e Pietro DR.

Simone S (seconda B) è l'unico che prova un'analisi un po' più approfondita, per questo mi prendo la briga di trascrivere le sue parole dal foglio allo schermo: "il punto di partenza, al contrario di prima, ha 3 strade invece di 2 disponibili per partire. Avendo dietro di sé un muro, è impossibile trovare un percorso che unisca tutte le caselle".
Forse non è del tutto soddisfacente ma lo spunto iniziale mi pare senz'altro interessante!

Proverei adesso a buttare lì un ragionamento.
Se coloriamo la scacchiera di grigio e bianco a caselle alterne otteniamo una cosa di questo tipo: 5 caselle grigie e 4 bianche. Dal momento che non posso muovermi in diagonale, da una casella grigia (che indicheremo con G) dovrò sempre passare a una bianca (che indicheremo con B) e viceversa.
Nel primo caso la pedina è all'inizio su una casella grigia. Dovrà passare a una bianca, poi a una grigia e così via. Qualunque percorso io scelga dovrà essere: G-B-G-B-G-B-G-B-G.
In altre parole toccherà 5 caselle grigie e 4 bianche, tutte quelle presenti nella scacchiera.
Nel secondo caso la pedina è su una casella bianca. Il percorso sarà per forza: B-G-B-G-B-G-B-G... e avrò toccato 4 caselle bianche e 4 grigie, sarò su una grigia e non potrò passare alla quinta casella dello stesso colore. Il percorso è quindi impossibile da completare.

Questa sarebbe stata la mia risposta. E credevo di aver detto l'ultima parola. Ma, come a volte capita, qualche ragazzo (o ragazza, in questo caso) riesce a stupirmi. Uno dei piaceri della vita!
Ed è con vero piacere che vi presento un piccolo capolavoro di pensiero laterale!
La capolavoratrice è Noemi N (seconda B) e il pensiero è illustrato dalla seguente figura.
Noemi ha consegnato un foglio con disegni fatti a mano e non ho voluto stare a passarli allo scanner. Ho preferito ricostruirne uno con Photoshop.
L'idea è semplice (proprio qui sta il bello): basta "far uscire la traiettoria, esternamente alla scacchiera".
Ho ricontrollato il quesito. Chiede di muovere la pedina da una casella all'altra in maniera da attraversare tutte le caselle. Ogni casella va attraversata una sola volta. Non ci si può spostare in diagonale.
Da nessuna parte si vieta di uscire dalla scacchiera. Quindi penso proprio di dover dichiarare ufficialmente che la risposta è valida!


IL QUARTO

Conviene avere sottocchio l'immagine iniziale per poter seguire meglio i ragionamenti.

Ivan R (prima B) fornisce la risposta probabilmente più completa:

- sicuramente I=0 perché E-E=0 ed N=1 perché è la massima cifra che posso riportare.
- Considero, poi, il numero più grande che può valere OTTO=9889 e procedo a tentativi:
- O non può essere 9 perché per ottenere N=1 dovrebbe risultare 19, ma 19-8=11 ed S non può ovviamente essere un numero superiore a 9.
- Quindi provo con O=8 e T=9, ma 18-9=9 ed S non può essere 9 come T e T non potrebbe essere 8 come O.
- Quindi provo O=7 e T=9. A questo punto trovo che 17-9=8 quindi S=8
- Distribuisco, poi, i numeri rimanenti sulle altre lettere. Posso trovare diverse soluzioni, esempio E=2, R=4, V=6 oppure E=2, R=3, V=5.


Aggiungo io una figura che spero aiuti. Sono blu le cifre obbligate o comunque cruciali per la soluzione, in arancione quelle che si potrebbero variare.
Torniamo alle parole di Ivan: in conclusione, il valore più alto possibile di OTTO è 7997.
Sono giunti alle stesse conclusioni i signori Edoardo O, Irene T, Simone S, i quali spiegano anche la strada percorsa con adeguato dettaglio.
Conclusione identica ma senza una spiegazione completa per Alberto C, Andrea G, Greta V.
Noemi N arriva a un massimo di 6776.
Alessandro Pi trova un 4884.

Ho valutato e rivalutato la situazione e comunico ufficialmente che, per questa puntata, sono state assegnate ben sette bonus card! Più precisamente a Greta V e Ivan R di prima B, Andrea G, Noemi N e Simone S di seconda B, Edoardo O e Irene T di terza B.

I miei complimenti ai sette, agli altri citati in questo post e anche a tutti (ma proprio tutti!) quelli che ci hanno provato davvero, anche se non sono riusciti a cavarne delle soluzioni valide. Garantisco di persona che lo sforzo ripagherà!

E con questo chiudo la puntata, non sto nemmeno a rileggere e clicco sul bottone "pubblica"!
Appuntamento alla prossima puntata che sarà... chissà!