mercoledì 10 gennaio 2018

Sarà mica matematica 45

La procedura di defreezing è completata (vedi qui e poi qui).

Abbiamo chiesto alla prof Giovanna e lei ci ha proposto un paio di quesiti. Un paio ce li abbiamo messi noi (che poi sarei io ma parlare al plurale fa sempre un effetto di maggiore serietà). E finalmente siamo pronti per la nuova puntata di Sarà mica matematica!

Una puntata bella corposa, con ben quattro quesiti!

IL PRIMO

Abbiamo queste sei sagome, formate da quadrati e triangoli equilateri.
Se le pieghiamo lungo le linee interne, riusciamo in ogni caso a ottenere una piramide? Se no, in quale (o quali...) casi no?
La risposta può essere veloce, basta scrivere la (o le) lettere. Però sarebbe bello se voleste anche spiegare un po'. Magari basterebbe colorare la faccia che "non torna", quella che impedisce di formare la piramide.


IL SECONDO

Immaginate un rettangolo.
La sua area è 12 centimetri quadrati e le lunghezze dei suoi lati, in centimetri, sono numeri interi.
Qual è il valore massimo, in centimetri, del suo perimetro?


IL TERZO

C'è una scacchiera con nove caselle e una pedina.
Bisogna muovere la pedina da una casella all'altra in maniera da attraversare tutte le caselle.
Ogni casella va attraversata una sola volta.
Non ci si può spostare in diagonale.

C'è più di una soluzione. Una, per capirci, ve la regalo io, le altre trovatele voi.
Vi è sembrato fin troppo facile?
D'accordo, provateci con la pedina in questa posizione.
Se la cosa è possibile si tratta "semplicemente" di disegnare le soluzioni. Se invece decidete che una soluzione è impossibile bisognerebbe proprio tentare di spiegare perché!


IL QUARTO

Dico solo questo: a lettera uguale corrisponde cifra uguale.
Aggiungo questo calcolo in colonna, fatto di lettere.

Poi butto lì la domanda.

Bisogna precisare che c'è più di una risposta possibile. Noi vogliamo quella più alta.
Cioè: sostituendo le cifre alle lettere, qual è il valore più alto possibile di OTTO?

AGGIORNAMENTO!

Sapevo che stavo dimenticavo qualcosa ma non ricordavo cosa.
La data di chiusura dei giochi!
Direi che ce la possiamo prendere comoda, stavolta.
Facciamo che si chiude a fine mese? Ma sì, mi pare che possa andare: la data ufficiale di chiusura - ultima chance per consegnare le risposte - è fissata per mercoledì 31 gennaio 2018. Contenti?

giovedì 4 gennaio 2018

Defreezing 2

(se non hai letto Defreezing 1, puoi farlo adesso, clicca QUI.)

Giallo canarino! Maledizione, Agente 0,07 periodico, non hai studiato abbastanza! Sbrigati o ti sbatto a dirigere il traffico interstellare!”
“Subito, Comandante. Canarino, canarino.”
“Compare una scritta sul display?”
“Sì, Comandante. Dice: parametri vitali bassi.
“Stradannazione! Vanno migliorati ad ogni costo. Gira la manopola rossa. Fino in fondo!”
“…rosso ciliegia o rosso mattone?”
“AGENTE!!”
“Scherzavo, Comandante! Rosso scarlatto, lo so, lo so.”

Silenzio. Un silenzio carico di tensione.


“C’è un miglioramento, Comandante! Parametri vitali così così.
“Ancora troppo poco! Aziona la manovella blu: tre giri completi.”
Blu oltremare o blu di Persia?”
“Secondo te, Agente!?”
“Secondo me ci starebbe bene un bel blu elettrico, si abbina col giallo canarino.”
“No, dannato stolto! Blu notte! Che si abbina con il buio che c’è nella tua testa!”
“Ah, ecco, sì, mi sembrava.”
“Cosa dice il display?”
“Dice: parametri vitali sufficienti meno meno.”
“Non è possibile! Non basta ancora. Deve essere un organismo molto strano… Agente: guarda dietro la cupola di ibernazione.”
“C’è una targhetta di metallo.”
“Cosa dice?”
“Dunque, vediamo… dice: Un tesoro in ogni dove. Non capisco Comandante, che roba è?”
“Ah, sì, se non ricordo male era un blog. Si usavano qualche eone fa.”
“Mai sentiti, Comandante.”
“Roba antiquata, e tu sei troppo giovane. Sarà difficile riportarlo in vita, bisogna ricorrere ai rimedi più raffinati. Agente, come te la cavi con la tecnologia quantica di ultima generazione?”
“Bene, Comandante, ho fatto un corso di aggiornamento l’altra settimana. Prima non ne sapevo niente ma adesso sono un esperto.”
“Allora procediamo: vedi il pannello grigio alla base della capsula di ibernazione?”
“Lo vedo.”
“Dai un calcio nell’angolo in basso a destra.”
“Un momento, Comandante… grigio topo o grigio argento?”
“Basta, Agente! Molla lì un calcione e finiamola!”
“Fatto!”

L’organismo apre gli occhi. Dopo qualche secondo apre anche la bocca. Ne escono due sillabe stentate: Gio-chi.

”Cosa hai detto, Agente?”
“È stato l’organismo, Comandante. Ha detto giochi, mi sembra.”
“Accidenti!”

Gio-chi ma-te–ma-ti-ci!

“Comandante, l’organismo ha detto…”
“Ho sentito, Agente! È un guaio!”
“Non capisco, Comandante.”
“L’organismo è in crisi d’astinenza, è chiaro! Bisogna dargli in pasto qualche gioco matematico, al più presto.”

La calotta-capsula-cupola d’ibernazione comincia a tremare. L’organismo ha uno sguardo allucinato.
Sa-rà mi-ca ma-te-ma-ti-ca!
“Comandante, l’organismo ha detto…”
“Ho sentito, Agente! È molto peggio di come immaginavo. Dobbiamo preparare una nuova puntata di Sarà mica matematica.”
“No!”
“Invece sì! Non ce la possiamo fare da soli, dobbiamo chiedere aiuto.”
“A chi, Comandante, a chi!?”
“C’è una sola possibilità: chiamare la prof Giovanna.
“E allora lo faccia, Comandante, cosa aspetta!?”
“Sì, agente, scusa. ‘Spetta che le scrivo una mail.”
“Una mail? Maledizione, Comandante, non c’è uno strumento meno antiquato?!”
“È l’unica possibilità, Agente, mi spiace.”
“Ma così non riusciremo a preparare la nuova puntata prima di…”
“Sì, Agente, dovremo aspettare la fine delle vacanze natalizie.”

L’agente e l’organismo ibernato si guardano. Alzano le sopracciglia. Poi alzano le spalle.
Pa-zien-za. In-tan-to go-dia-mo-ci le va-can-ze!

martedì 2 gennaio 2018

Defreezing 1

“Agente 0,07 periodico, mi senti?”
“Forte e chiaro, Comandante.”
“Bene, sei pronto per la procedura di defreezing?”
“Sono pronto, Comandante.”
“Allora ascoltami attentamente, il processo di deibernazione è sempre molto rischioso e sono anni che non effettuo il procedimento. Basta un gesto sbagliato e l’organismo potrebbe andare in assiderazione necrotica irreversibile.”
“Sembra una brutta cosa, Comandante!”
“È molto peggio, agente. Molto peggio.”

Il Comandante sembra perdersi nei ricordi di chissà quale remota avventura. Passano pochi secondi di silenzio. Ma sembrano un’eternità.
Poi il Comandante si riscuote.

“Bene, agente, cominciamo.”
“Sì, Comandante.”
“Che aspetto ha l’organismo in questione?”
“Rigido e freddo, Comandante.”
“È ibernato, agente, deve essere freddo e rigido.”
“Sì, Comandante.”
“Guarda nella zona apicale della calotta d’ibernazione. Ci deve essere un display.”
“Eccolo, Comandante, l’ho trovato!”
“Bene, adesso aziona la manovella verde.”
“…Comandante?”
“Sì, agente?”
Verde oliva o verde menta?
Verde smeraldo! È ovvio, agente, non perdere tempo!”
“D’accordo, Comandante, verde smeraldo. Ecco, il display si è illuminato!”
“Guarda il numero più a sinistra, in basso.”
“È… è zero, Comandante.”
“Maledizione!”
“No, aspetti, ecco: zero virgola tre. Zero virgola sette. Virgola nove… aumenta, Comandante!”
“Se sale oltre il sei ce la possiamo fare, Agente.”
“Siamo a uno virgola quattro.”
“Troppo poco, troppo poco, dannazione!”
“Adesso siamo a due virgola otto.”
“Non basta!”
“Sale rapidamente: quattro virgola cinque!”

Silenzio.

“Comandante?”
“A quanto siamo, Agente?”
“Sei virgola due.”
“Una sufficienza stentata. Ma può bastare per la promozione. Procediamo: schiaccia il pulsante giallo.”
“…Comandante?”
“Cosa c’è, dannazione!?”
Giallo oro o giallo crema?”

...continua...

sabato 29 aprile 2017

Sarà mica matematica 44, le soluzioni

La fine è vicina.
Ma non c'è da aver paura: è solo la fine dell'anno scolastico.

Direte: è una buona notizia! Sì, non tento nemmeno di negarlo ma sono pronto a scommettere che ogni insegnante vi dirà anche che c'è ancora molto da fare per poter chiudere l'annata in serenità. Molto, molto da fare!
Dunque non perdiamo tempo e vediamo le soluzioni ai giochi di Sarà mica matematica 44. Poi bisognerà dedicarsi a verifiche, voti e tutta quella roba lì.


1. CONTARE FINO A ZERO

Due persone sono riuscite a dare una soluzione corretta e chiara, sono Stefano P e Naomi R, entrambi di terza B.
Stefano P scrive: il risultato ha due zeri perché è un numero moltiplicato per 100. Scomponendo in fattori primi il risultato si ha: $$2^{8}\cdot3^{4}\cdot5^{2}\cdot7$$quindi posso scriverlo come $$2^{6}\cdot3^{4}\cdot7\cdot2^{2}\cdot5^{2}$$
ma gli ultimi $$2^{2}\cdot5^{2}$$
sono $$2\cdot5\cdot2\cdot5$$
cioè $$10\cdot10$$
cioè $$100.$$

Se moltiplico ancora per 5 il numero risultante, formerò un'altra coppia di fattori 2 x 5 con uno degli altri 2 e quindi il numero sarà moltiplicato ancora per 10 e avrà uno zero in più.

Naomi R invece dice: parto da $$1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10$$
Scomponendo in fattori primi ottengo:
$$2^{8}\cdot3^{4}\cdot5^{2}\cdot7$$
Poiché so che i risultati delle potenze di 10 si ottengono scrivendo dopo l’unità tanti 0 quanti ne indica l’esponente e qui devo capire quanti zeri avrà il mio risultato, cerco di vedere quante potenze di 10 posso ottenere:
$$(5\cdot2)^{2}\cdot2^{6}\cdot3^{4}\cdot7 = 10^{2}\cdot2^{6}\cdot3^{4}\cdot7 = …$$
con 2 zeri finali.

Se moltiplico per un altro 5 avrò: 
$$2^{8}\cdot3^{4}\cdot5^{3}\cdot7$$
quindi
$$(5\cdot2)^{3}\cdot2^{6}\cdot3^{4}\cdot7 = 10^{3}\cdot2^{6}\cdot3^{4}\cdot7 = …$$
con 3 zeri finali.

Altri ci sono andati vicini ma non sono riusciti a spiegare fino in fondo, le loro risposte richiederebbero ancora un po' di lavoro di scavo.

Ne è un esempio Giada A, di prima B. La sua risposta va interpretata alla luce degli esercizi di fattorizzazione che abbiamo svolto in classe. Scrive Giada: la risposta è due perché se voglio scomporre un numero composto in numeri primi, togliendo ogni volta i due zeri finali, per comodità in questa situazione serve scomporre 3628800 (che è il risultato della moltiplicazione 1x2x3x4x5x6x7x8x9x10) per 2 alla seconda per 5 alla seconda (cioè 100).

Oppure anche Edoardo O, di seconda B: La moltiplicazione termina con due zeri, perché uno è dovuto al 10 finale della moltiplicazione e l’altro al 5 (nella tabellina del 5 si alternano numeri con lo 0 e numeri con il 5 a seconda di quanto si moltiplica) [...e quando si otterrà uno zero?, chiedo io].
Lo stesso succede quando la moltiplicazione termina con tre zeri, perché 403200 x 5 è come moltiplicare 200 x 5 (numero pari per 5) [...e quando si ha un numero pari?, chiedo io].

Gli altri aspiranti solutori fanno magari osservazioni interessanti ma si mantengono lontani dallo spiegare il "perché". Cito ad esempio la mail di Rachele C (prima B): la risposta è 2 zeri perché se calcolo 1x2x3x4x5x6x7x8x9 il risultato è 362.880. Poi aggiungo x10 e si aggiunge un altro zero. [...perché?]


2. SOVRAPPOSIZIONI

Cominciamo con la risposta di Naomi R, di terza B, che allega questa figura
e spiega: inizio trovando la somma delle aree di tutti i quadrati e, per farlo, sommo all'area totale arancione le aree azzurre moltiplicandole per 2 perché la parte azzurra 1 fa parte sia del quadrato a che del quadrato c, la parte azzurra 2 fa parte sia del quadrato c che del quadrato b e la parte azzurra 3 fa parte sia del quadrato a che del quadrato b; quindi: 

$$A_{totale}=63cm^{2}+(1cm^{2}\cdot2)+(2cm^{2}\cdot2)+(3cm^{2}\cdot2)=75cm^{2} $$

Poi trovo l’area di un solo quadrato:

$$A_{quadrato}=75cm^{2}:3=25cm^{2}$$

E, infine, applico la formula per trovare il lato del quadrato:

$$l_{quadrato}=\sqrt{25cm^{2}}=5cm$$

Stefano P, anche lui di terza B: per trovare la lunghezza di un lato dei quadrati devo prima trovare l'area di un quadrato. Per trovarla posso dividere per tre l'area totale di tutti e tre i quadrati. L'area totale è la somma delle parti arancioni con i quadrilateri azzurri moltiplicati per due, perché sono le parti sovrapposte e quindi doppie. Faccio quindi
$$(63cm^{2} + (1cm^{2} + 2cm^{2} + 3cm^{2})\cdot2) : 3 = 75cm^{2} : 3 = 25cm^{2}$$
Adesso, per trovare la lunghezza di un lato, faccio
$$\sqrt{25cm^{2}}=5cm$$


Edoardo O, di seconda B: Per sapere quanto è lungo un lato di un quadrato bisogna moltiplicare per due le misure azzurre (perché sono sovrapposte).Quindi bisogna aggiungere la somma delle aree arancioni, poi bisogna dividere il tutto per tre e infine fare la radice quadrata del risultato.

Area di un quadrato = (63 cm quadrati + 6 cm quadrati x 2) : 3 =
(63 cm quadrati + 12 cm quadrati:)3 =
75 cm quadrati : 3 = 25 cm quadrati

Lato di un quadrato = radice quadrata di 25 = 5 cm

Andrea G, di prima B: le somme delle aree dei tre quadrati è uguale a area quadrato uno + area quadrato due + area quadrato tre, quindi è uguale a 63 + (1+2) + (2+3) + (3+1) = 75.
L'area di un quadrato è uguale a 75:3=25
Quindi 25 = lato per lato.
Per la regola della scomposizione in primi, 25 è divisibile per 5 quindi 25 : 5 = 5
Quindi il lato è 5.

Una qualche unità di misura non avrebbe sfigurato ma il ragionamento funziona.
Come è normale che sia, in prima media, Andrea non conosce bene le radici quadrate. Ciononostante riesce a scoprire la misura del lato del quadrato, anche se in maniera un po' rocambolesca. Apprezzo molto il tentativo di sfruttare le conoscenze apprese a lezione (qui al scomposizione in fattori primi c'entra forse poco ma pazienza).

Rispondono correttamente anche Alessandro P, di prima B, e Giulia DM e Sara C, entrambe di seconda B.


3. LOGICA PER TERZINI

Il quesito sembra aver riscosso un certo successo di pubblico. Forse perché non sembra molto matematica, chissà.
Lasciamo la parola ai solutori, che probabilmente hanno fatto un po' di matematica senza accorgersene. :-)

Andrea G: Astolfo dice che lui e Asdrubale sono della famiglia dei bugiardi.
Chi fa parte della famiglia dei sinceri può dire solo la verità quindi l'affermazione di far parte della famiglia dei bugiardi non può essere fatta da uno che dice la verità.
Quindi Astolfo fa parte della famiglia dei bugiardi.
Ma essendo membro di questa famiglia non dice mai la verità, quindi non è vero che entrambi fanno parte della stessa famiglia.
Asdrubale deve essere membro della famiglia dei sinceri.


Stefano P: Astolfo non può essere della famiglia Sinceri perché quella famiglia dice sempre la verità e lui ha detto che è della famiglia Bugiardi. Quindi è della famiglia Bugiardi e dato che quella famiglia non dice mai la verità vuol dire che Asdrubale è della famiglia Sinceri (infatti lui dice che sono ENTRAMBI della famiglia Bugiardi ma non può essere vero).

Naomi R: Astolfo dice: “siamo entrambi della famiglia bugiardi”. Se fossero entrambi della stessa famiglia il quesito non si potrebbe risolvere perché:
  • Non possono aver detto la verità poiché, se realmente fossero della famiglia bugiardi, dovrebbero mentire.
  • Non possono aver detto una bugia perché se appartenessero alla famiglia sinceri dovrebbero dire solo la verità. 
L’unica soluzione è dire che fanno parte di due famiglie diverse:
  • Astolfo fa parte della famiglia bugiardi perché, avendo detto che lui e Asdrubale facevano parte della stessa famiglia, si rivela bugiardo.
  • Asdrubale fa parte della famiglia sinceri perché, non avendo parlato, non possiamo sapere se dice bugie o verità, ma siccome non può fare parte della stessa famiglia di Astolfo, per forza farà parte della famiglia sinceri.
Edoardo O costruisce un ragionamento che ha senz'altro qualcosa di valido anche se la sua spiegazione non mi pare del tutto convincente: per scoprire di che famiglia è Astolfo bisogna prendere in considerazione la frase che dice: ”Siamo entrambi della Famiglia Bugiardi”. 
Da questa frase si può capire tutto perché Astolfo dice “Entrambi” e con questo si deduce che Astolfo faccia parte della Famiglia dei Bugiardi e, visto che Asdrubale non parla, si può dire che sia della famiglia Sinceri.

Tra gli amanti della carta rispondono bene (che significa "spiegano in maniera corretta e più o meno comprensibile"): Alberto C, Giorgia M, Giulia DM, Iman B, Irene T, Noemi N, Paolo D, Paolo M, Sara C, Simone S.
Danno una risposta giusta ma priva di spiegazioni (che è un po' come dire "non rispondono"): Alessia P, Giada A, Lorenzo Z, Rachele C.


Se non ho dimenticato qualcosa o qualcuno, siamo proprio siamo arrivati alla fine (di questi giochi).
La parola fine mi ricorda di quello che dicevo all'inizio (del post): la fine (dell'anno scolastico) è vicina ma c'è ancora molto, molto da fare!
Il che significa che questa puntata di Sarà mica mate segna probabilmente la fine (della nostra stagione di giochi matematici).
Non è ancora il momento di salutare, però: ci sarà modo di farlo più avanti.

FINE

sabato 1 aprile 2017

Sarà mica matematica 44

Volevo fare tante belle cose.
Volevo costruire qualche quesito particolare, volevo magari farne un filmatino, volevo preparare un'immagine animata. Ma qui il tempo passa ed è ora di pubblicare qualche gioco nuovo.

Allora eccolì qua.
Non saranno troppo originali e sono messi lì senza fronzoli. Ma tutto sommato mi sembrano buoni.
Diciamo che hanno un ottimo rapporto qualità/prezzo!


1. CONTARE FINO A ZERO

È un quesito che mi pare di aver già sentito parecchie volte. Ma lo propongo perché mi sembra fatto apposta per i primini.
E così ho dato anche un bel suggerimentone proprio ai ragazzi di prima: di cosa stiamo parlando in aritmetica, in questi giorni? Ecco, io ragionerei proprio con la scomposizione in fattori primi.

Passiamo al quesito.
Prendiamo i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10.
Li moltiplichiamo tutti tra loro.
Il risultato sarà un numero che terminerà con... quanti zeri?


AGGIORNAMENTO

Devo precisare un dettaglio che un dettaglio non è.
È fin troppo chiaro che la risposta si può trovare con una semplice moltiplicazione. Stavolta più che mai, però, il vero obiettivo non è trovare la risposta, l’obiettivo è capire (e spiegare) perché la risposta è proprio quella!

Anzi, sapete cosa vi dico? Esagero! La soluzione ve la do io!
La risposta è DUE.
Perché?
E perché se moltiplico il risultato per un altro 5, la risposta diventa TRE?

Ecco, adesso il quesito mi pare davvero completo.
Grazie mille alla prof Giovanna per avermi fatto notare il dettaglio che un dettaglio non è! :-)


2. SOVRAPPOSIZIONI

Tre quadrati congruenti sono sovrapposti a due a due, come nella figura.

L'area totale delle superfici non sovrapposte, ovvero quelle arancioni, è 63 cm2.
I quadrilateri azzurri hanno area 1 cm2, 2 cm2 e 3 cm2.
Quanto è lungo il lato dei quadrati?

Aggiungo una postilla che diventa un altro suggerimentone: i primini potrebbero avere qualche difficoltà con le radici quadrate. Allora per loro la domanda può diventare: quanto è l'area di ciascun quadrato?


3. LOGICA PER TERZINI

Qualche giorno fa in terza B abbiamo sottratto del tempo allo svolgimento del programma (siccome siamo già avanti...!).
Lo abbiamo usato per discutere un po' su un giochino di logica proposto da Pietro B. Aveva a che fare con le porte del paradiso e dell'inferno e con due strani personaggi, uno sempre bugiardo, l'altro sempre sincero.

Voglio rincarare la dose con quest'altro quesito.

Abbiamo a che fare con due famiglie. Ci si può fidare dei membri della famiglia Sinceri: dicono SEMPRE la verità. Ma ci si può fidare anche dei membri della famiglia Bugiardi: non dicono MAI la verità!
Ora, incontro due personaggi: Astolfo e Asdrubale. Astolfo dice: "siamo entrambi della famiglia Bugiardi".
Di che famiglia è Astolfo? Di che famiglia è Asdrubale?

Piccola precisazione: il titolo fa riferimento ai terzini ma il quesito è rivolto a tutti, eh.

E così chiudiamo questa puntata di Sarà mica mate.
Resta solo da stabilire un termine per la consegna delle risposte. Vogliamo fare entro mercoledì 19 aprile, al rientro dalle vacanze di Pasqua?