lunedì 26 settembre 2016

Franco Loi, “Cume me pias el mund!”


Una cattiva abitudine, ripetuta abbastanza a lungo, diventa una tradizione. E le tradizioni vanno rispettate.

Su questo blog si è ormai affermata la consuetudine di rispettare sempre gli appuntamenti… ma con adeguato ritardo! Direi che stavolta la tradizione è fin troppo rispettata, dal momento che questo è il post di apertura dell’anno scolastico – il quale ha già avuto la fretta di iniziare un paio di settimane fa. (Sì sì, è proprio così, chi l’avrebbe mai detto, eh?)

Ora, non tutte le tradizioni nascono da cattive abitudini, alcune derivano da scelte consapevoli. È il caso, ad esempio, dell’usanza di iniziare l’anno scolastico con una poesia.

In origine pensavo di scegliere poesie che avessero in qualche modo a che fare con la matematica o le scienze, magari alla lontana (vedi ad esempio qui e un pochino anche qui).
Poi però mi sono ricordato che l’intenzione iniziale di questo blog era sì fare didattica ma più in generale fornire spunti interessanti, stimolare qualche curiosità, alimentare la passione per la bellezza del mondo.
Ecco, tra le cose belle ci sono (che ci crediate o meno) le scienze e la matematica. Ma non solo!

Insomma, se è vero che c'è un tesoro in ogni dove (e SO che è vero), darsi dei confini nella ricerca sarebbe uno spreco.

Allora, prima di esagerare con gli sproloqui, butto sul piatto la poesia che ho scelto.
Stavolta più che mai non ha bisogno di spiegazioni, mi pare. D'accordo Franco Loi scrive in dialetto milanese ma la traduzione che trovate sotto è chiara chiarissima.

A voi non resta che leggerla, magari chiudere gli occhi e vedere le immagini. (L'ideale sarebbe forse leggerla ad occhi chiusi, ma io non ci sono mai riuscito.)
A me non resta che augurare a tutti un buon anno scolastico!

Franco Loi (fonte immagine)

Cume me pias el mund! L’aria, el so fiâ!
j àrbur, l’èrba, el sû, quj câ, i bèj strâd,
la lüna che se sfalsa, l’èrga tra i câ,
me pias el sals del mar, i matt cinâd,
i càlis tra i amís, i abièss nel vent,
e tücc i ròbb de Diu, anca i munâd,
i spall che van de pressia cuj öcc bass,
la dònna che te svisa i sentiment:
l’è lí el mund, e par squasi spettàss
che tí te ‘l vàrdet, te ghe dét atrâ,
che lü ‘l gh’è sempre, ma facil smemuriàss.
tràss föra ind i pernser, vèss durmentâ…
Ma quan’ che riva l’umbra de la sera,
‘me che te ciama el mund! cume slargâ
te vègn adòss quèl ciel ne la sua vera
belessa sena feng nel so pensàss,
e alura del tò pien te càmbiet cera.


Come mi piace il mondo! l’aria, il suo fiato!
gli alberi, l’erba, il sole, quelle case, le belle strade,
mi piace il salso del mare, le matte stupidate,
i calici tra gli amici, gli alberi nel vento,
e tutte le cose di Dio, anche le piccolezze,
e i tram che passano, i vetri che risplendono,
le spalle che vanno di fretta a occhi bassi,
la donna che ti turba i sentimenti:
è lí il mondo, che sembra aspettarsi
che tu lo guardi, che gli dai retta,
poiché lui c’è sempre, ma è facile dimenticarlo,
distrarsi nei pensieri, essere addormentati…
Ma quando arriva l’ombra della sera,
come ti chiama il mondo! come si allarga
e ti viene addosso quel cielo nella sua vera
bellezza senza finzioni nel suo riflettersi,
e allora per la tua pienezza cambi colore.

Franco Loi, da Isman, Einaudi 2002 

sabato 21 maggio 2016

Sarà mica matematica 40, le soluzioni

Venerdì 20 maggio 2016, ore 17.30, comincio a scrivere questo post.

La pila di carte, verifiche e quaderni da correggere che si erano accumulati sulla mia scrivania si è abbassata quanto basta per accedere al computer. Non si è esaurita, eh. Però adesso riesco a vedere lo schermo.

Dunque, il post.

Si tratta di raccontare le nostre risposte ai due quesiti della puntata numero 40 di Sarà mica matematica. Sono passati dieci giorni dalla data di chiusura dei giochi ed è proprio ora di cominciare a tirare le somme (trattandosi di matematica la frase sembra appropriata).

Ordunque non si frappongano ulteriori indugi e si parta colle risposte ai quesiti!

IL PRIMO

La prima risposta ad arrivare è stata di gran lunga quella di Caterina B (ricordate l'ospite d'onore della scorsa puntata?). Ecco quello che scrive:
Soluzione (forse) al primo quesito: allora, ho notato che i triangolini bianchi appaiono dal secondo “piano” del triangolone, e ne appare uno, cioè uno in meno, rispetto al piano corrispondente, quindi ho pensato che, alla quarantesima riga, avrei trovato 39 triangolini bianchi. Per trovare il numero totale di triangolini bianchi, ho pensato di fare la somma dei numeri da 1 a 39, secondo la formula di Gauss:


e il risultato è 780.

Per quanto riguarda l’area totale, ho notato una cosa interessante: il numero dei triangolini che forma ogni riga è il numero dispari che corrisponde al doppio più uno della riga in esame. Esempio: la riga n°4 è composta da (4*2)+1=9 triangolini. Quindi ho fatto la somma dei numeri dispari da 1 a 40, secondo la formula:
Quindi: 40^2= 1600, che è il numero di triangolini totali, ma anche l’area totale del triangolone, perché ogni triangolino ha area unitaria.
Qualcuno, sono sicuro, si chiederà cosa diavolo significano quegli strani simboli, in particolare quella specie di strana E. Si tratta della lettera greca Sigma maiuscola, simbolo che ha vari usi in matematica e che qui indica una sommatoria, cioè la somma di una certa sequenza di numeri. La sommatoria usata da Caterina dice che la somma di tutti i numeri dispari da 1 a N è uguale a N2.
Nel nostro caso N = 40. Quindi la somma di tutti i numeri da 1 a 40 è 402= 1600.

E qui mi sembra ci stia proprio bene un'altra frase di Caterina:  

La formula della sommatoria ha origini curiose: quest'anno ho addobbato l'albero di Natale con le foto di molti scienziati e matematici, tra cui Gauss, e quindi mi sono divertita ad approfondire i suoi studi, ed ecco comparire quella formula!
La curiosità porta spesso bei doni, meglio di Babbo Natale!

In rigoroso ordine di tempo, la seconda mail ad arrivare è stata quella di Martina P, la quale raccoglie le informazioni e i ragionamenti fatti in classe sui numeri triangolari e arriva a calcolare che in un triangolone con 40 triangolini di base, il numero totale di triangolini arancioni è 820. Un buon punto di partenza per arrivare alle risposte alle domande: quanti sono i triangolini BIANCHI? Se ogni triangolino ha area 1, qual è l’area del triangolone?

Vediamo il prossimo. Si tratta di Stefano P, il quale scrive:
Per trovare l' area del triangolone ho usato la formula di Gauss per trovare il numero dei triangoli arancioni (40 : 2) x (40 +1) = 20 x 41 = 820.
I triangoli bianchi sono uno in meno per ogni fila, quindi ho tolto 40 a 820 per trovare il numero dei triangoli bianchi: 780.
Infine li ho sommati per trovare il numero totale: 820 + 720 = 1600 che è anche l'area del triangolone.
La successiva mail con risposta (in parte) giusta è quella di Edoardo O, il quale conclude (sbagliando) che l’area del triangolone è 820. Però poi si riscatta con la frase:
Per trovare il numero di triangolini bianchi presenti nel triangolone, possiamo osservare che i triangoli bianchi del triangolo di base 40 sono in numero uguale a quelli arancioni del triangolo di base 39, cioè 780.
Ultima tra le mail, quella di Naomi R.
Per trovare il numero di triangoli arancioni ho applicato la formula di Gauss, ovvero, n x (n+1):2 = 40 x (40+1):2 = 820.
Dopodiché ho trovato il numero di triangoli bianchi e mi sono accorta che per farlo basta togliere ai quadratini arancioni i numeri di quadratini che formano la base: 820-n=820-40 = 780.
Infine per trovare l’area, guardando alla lavagna gli esempi del prof, ho capito che mi bastava fare n x n = 40x40 = 1600.
Brava Naomi… e bravo il prof  :-D

Passiamo alle risposte cartacee. Questa volta, su "sollecitazione" del succitato prof (ah, quanto mi piacciono le alllitterazioni!), parecchi ci hanno provato. Per non farla troppo lunga citerò solo chi ci ha azzeccato almeno un po'.
Eccoli, in rigoroso ordine casuale.

Edoardo D fa lunghe liste di numeri con le quali scopre il numero di triangolini arancioni e bianchi, poi però tralascia di concludere con l'area totale.
Martina D trova solo l'area del triangolone con una spiegazione che -confesso- non ho capito.
Giorgia M ragiona bene con il numero di triangolini arancioni e bianchi ma cade sull'area.
Nelson R fornisce le soluzioni corrette, con una spiegazione moolto sintetica.
Paolo M: vedi sopra ma ancora più sintetico!
Pietro B, alla fine di un luuungo elenco di calcoli, arriva alle conclusioni esatte (bravo Pietro ma Gauss non sarebbe contento!).
Alessia V segue un ragionamento non del tutto esatto sulla base e l'altezza e l'area del triangolo, però riesce giuste comunque ad trovare le risposte.
Leonardo R azzecca i triangolini bianchi ma confonde il numero di triangolini arancioni con l'area totale del triangolone!
Gaia C costruisce una tabella che la aiuta con quattro colonnein cui


Mirko P segue una strada del tutto simile a quella di Gaia.
Mattia G scopre l'area (anche se non racconta bene come), poi i triangolini arancioni con la formula "di Gauss" e infine, per sottrazione calcola il numero di triangolini bianchi.
Anche Iman B utilizza la formula del "Principe dei matematici" per calcolare i triangolini arancioni, poi nota che i bianchi devono essere 40 in meno, infine somma i due numeri ottenuti e determina il numero totale, ovverosia l'area del triangolone.

IL SECONDO

Il quesito originale comincia con una citazione: 
Tutto è curioso in matematica, ma solo dopo aver tolto ogni aspetto legato alla noiosa necessità.
La frase è tratta dal libro 103 curiosità matematiche, di Giorgio Balzarotti e Pietro P. Lava. Ora, basta seguire questo link (CLICK) per leggere una semplice descrizione dei numeri curiosi o autobiografici, proprio i protagonisti di questo quesito.
Dirò di più: proprio dalla lettura di questo libro mi è venuta l'idea per il quesito!

Ciò detto, passiamo alle soluzioni.

Si riparte da Caterina B, la nostra graditissima ospite fuori età. Le sue parole:
Ho trovato il numero 1210. Il ragionamento che ho fatto è il seguente: la prima cifra doveva essere un 1, perché doveva essere più piccolo di 2020, e perché la prima cifra seguiva un ordine decrescente;

L’ultima cifra doveva essere uno 0, e doveva essercene uno solo, per via del vincolo sulla cifra iniziale; all’inizio ho pensato che, per regolarità, questo numero non potesse avere più di tre cifre, invece mi sono resa conto che non erano sufficienti, facendo qualche prova, quindi mi sono orientata sull’ordine delle migliaia; ho scartato tutte le cifre superiori al 3 perché la sua presenza sarebbe stata incompatibile con i vincoli imposti, infatti il primo tre compare solo nel terzo numero dal basso, che è dell’ordine dei milioni.

A questo punto ho disegnato su un foglio 4 quadrati bianchi, e ho completato con un 1 il primo e con uno 0 l’ultimo: mi rimaneva da “giocare” con il 2 e con l’1, e mi è bastato riempire i quadrati mancanti.
La risposta di Stefano P richiede un po’ di concentrazione ma mi pare precisa ed esauriente:
Per trovare il numero più piccolo comincio con [un numero di] una cifra, ma se metto una cifra dall'uno al nove devo mettere almeno uno zero e se metto zero è sbagliato perché non ci sono zero zeri.

Quindi ho provato con due cifre, ma dato che devo mettere lo zero come seconda cifra viene sbagliato perché se metto l'uno come prima cifra non posso mettere lo zero dopo e se metto il due o una cifra maggiore devo mettere più zeri.

Non si possono neanche mettere tre cifre perché la prima cifra è per forza due se no il numero viene più grande, poi devo mettere due zeri, ma il secondo zero non va bene. Se metto uno come prima cifra non posso mettere uno anche come seconda perché ci sarebbero due uno.

Rimangono solo le quattro cifre e, dato che il numero più piccolo col due è 2020 e questo numero c'è già, devo per forza mettere l'uno come prima cifra poi il due altrimenti il numero viene lungo, poi devo mettere per forza l'uno come detto prima e infine lo zero e viene 1210, che è il numero che manca.
Nelle loro mail Edoardo D, Mattia C, Edoardo O e Sara C forniscono tutti la risposta corretta ma non spiegano come ci sono arrivati, tuttalpiù mettono in evidenza le ragioni per cui i conti tornano. Scelgo ad esempio le parole di Sara C, che mi paiono chiare:

1, c’è uno zero nel numero
2,ci sono due uno nel numero
1, c’è un due nel numero
0,non ci sono tre ne numero

Naomi R invia una risposta corretta anche se, stavolta, un po’ affrettata:
Per risolvere il quesito ho messo come primo numero 1 perché il prof ha detto che il 7° numero “speciale” è più piccolo di 2020 quindi ho provato ha mettere 2 come secondo numero e 1 come il terzo infine per fare tornare i conti ho messo 0 come ultimo numero…la soluzione finale è 1210.


Tra le risposte cartacee, la maggioranza si limita a mostrare perché la risposta è giusta. I più non vogliono rivelare quale ragionamento hanno seguito, alcuni dichiarano di essere andati per tentativi.

Ecco l’elenco, stavolta in rigoroso ordine alfabetico.

Alessia V, Alice D, Christian G, Irene T, Gaia C, Giorgia M, Giulia DM, Iman B, Leonardo R, Martina D, Mirko G, Moris N, Nelson R, Nicole M, Paolo e Matilde D, Paolo M.

Pietro B accenna una mezzo ragionamento ma lo fa in un linguaggio cifrato che non riesco a comprendere. Forse è un nuovo sistema crittografico.

Anche Mattia G usa un suo sistema di crittografia. Somiglia molto all’italiano ma è privato di alcune parti fondamentali: certi apostrofi, certe h, parecchie virgole… :-D Mattia parte dal primo 1 (non dice le ragioni di questa scelta) e incastra le altre cifre secondo necessità.

Proseguiamo con il filone crittografico: Edoardo D sceglie di modificare i modi e i tempi verbali, nel chiaro tentativo di rendere incomprensibili le sue frasi. Ma, dopo anni di pratica su verifiche e quaderni, sono un esperto di decrittazione e ho capito che: il numero non può iniziare con 0 (non ci possono essere zero 0); non può iniziare con 2 (qui il codice si fa complicato e dovrò lavorarci ancora a lungo per risolverlo del tutto) . Scoperte le prime due cifre, la terza e la quarta vengono di conseguenza.

Last but not least, come direbbero gli inglesi, vediamo la risposta di Mirko P da cui emerge un’altra proprietà dei numeri autobiografici. Forse in futuro sarà il caso di tornare a ragionarci.

Mirko costruisce una tabella in cui, per ciascuno dei numeri autobiografici, riporta la lunghezza del numero (la quantità di cifre che lo compongono) e la somma di tutte le sue cifre.

E scrive: ho notato che la lunghezza del numero e il totale delle cifre del numero sono sempre uguali. Allora i possibili numeri sono: 2020, 1210, 1111, 1300, 1120, … L’unico che segue le altre regole è il 1210.


Ora, sto esagerando, lo so. Però se qualcuno volesse approfondire parecchio potrebbe andare a guardarsi questo articolo (in inglese!) in cui vengono descritti i numeri autobiografici con tanto di Curriculum Vitae e Storia Completa della Vita. Il secondo punto della descrizione preliminare è proprio la scoperta di Mirko!

Ebbràvo Mirko! :-D

Con questo interessante spunto, chiudiamo la quarantesima puntata di Sarà mica matematica. E chiudiamo anche la stagione dei quesiti.

Riprenderemo a settembre con qualche nuovo gioco, magari ripartendo proprio dalla "scoperta" di Mirko, chissà.


Per una serie di ragioni è stata un'annata per me più faticosa del solito, e credo che traspaia anche tra le righe di questo blog. Vuol dire che cercherò di migliorare l'anno a venire.
Nel frattempo ringrazio tutti i ragazzi che hanno partecipato, qualcuno davvero con grande impegno e costanza.
Ringrazio i genitori che li hanno supportati, qualcuno davvero cercando una giusta misura nell'aiutare ma non troppo.
Ringrazio più che mai la prof Giovanna (e, certo, anche i suoi allievi): la collaborazione con lei è stata davvero preziosa!
A proposito, la prof Giovanna ha già pubblicato da tempo le risposte dei suoi ragazzi: consiglio di andare a dare un'occhiata!

Sabato 21 maggio, ore 19.20. Finisco di scrivere questo post.
D'accordo, non ho scritto per quasi 26 ore  filate. C'è stata qualche pausa dovuta a motivi famigliari, come si scrive nelle giustificazioni. 
Però è vero: sono parecchio lento nella scrittura!
Adesso il tempo di una veloce rilettura, qualche ritocco e si va in pubblicazione!

domenica 24 aprile 2016

Sarà mica matematica 40

La vita comincia a quarant'anni, dicono.
Noi invece a quaranta finiamo. La stagione, s'intende.

In altre parole: questa è la puntata numero quaranta di Sarà mica matematica ed è anche l'ultima per questa stagione. Lasciamo quel che resta dell'anno scolastico - un mese e qualche briciola - alle canoniche grandi manovre di chiusura dell'annata.

Ciò detto, possiamo cominciare con i due quesiti di questa puntata.

IL PRIMO

Sembra un quesito geometrico ma a guardare bene tanto geometrico non è. Più che altro è una scusa per festeggiare la quarantesima puntata.

Cominciamo con un triangolo equilatero la cui area è 1 (se vi torna comodo usate il cm2 come unità di misura).
Con altri triangolini identici costruisco un triangolo che ha per base due triangolini.
Poi ne costruisco uno con tre triangolini alla base.
Continuo con uno con quattro triangolini alla base.
La sequenza potrebbe continuare all'infinito. Noi ci fermeremo prima. A quale numero?
Giusto, siccome questa è la puntata numero 40, ci fermiamo al triangolo che ha per base 40 triangolini.

Ora, prima delle domande, osserviamo le figure. Sono composte da tanti triangolini equilateri, alcuni arancioni, altri bianchi.

Ed ecco le domande a proposito del triangolone con quaranta triangolini alla base:
1) qual è l'area totale del triangolone?
2) quanti triangolini bianchi contiene?

Come al solito non si tratta di costruire davvero un triangolone di base 40... si tratta piuttosto di scoprire una regolarità e fare qualche piccolo calcolo.

Qualche suggerimento.
I più sgamati avranno senz'altro riconosciuto i numeri triangolari... stavolta costruiti con i triangolini!
Di Gauss e dei numeri triangolari abbiamo parlato qualche giorno fa in prima. In seconda e terza se ne era già parlato in passato ma vedremo di rinfrescare un po' l'argomento nei prossimi giorni.
Se nel frattempo qualcuno volesse approfondire un po'  l'argomento (e trovare spunti, spuntini e spuntoni per risolvere il quesito) faccio notare che su Matematicamedie, il blog della prof Giovanna c'è molto materiale utile. Ad esempio potreste leggere qui,  qui  e qui. Ma anche qui e magari qui. Se invece preferite la solita Wikipedia, provate qui e, perché no, qui.


IL SECONDO

Tutto è curioso in matematica, ma solo dopo aver tolto ogni aspetto legato alla noiosa necessità.
(Da 103 curiosità matematiche, di G. Balzarotti e P. P. Lava)

Come dite? Perché inizio il quesito con una citazione?
Beh, intanto perché mi piacciono le citazioni. Poi per un'altra buona ragione. Che però non ho intenzione di rivelare, per ora. Ne riparleremo al momento di dare le soluzioni ai due quesiti di questa puntata.


Considerate il numero 2020.
È un bel numero, no? Ha una bella forma, con una certa regolarità, una certa rotondità. Ma c'è qualcos'altro  che lo rende particolare: è un numero che si racconta.

La prima cifra ci dice quanti 0 ci sono nel numero.
La seconda cifra ci dice quanti 1 ci sono nel numero.
La terza cifra ci dice quanti 2 ci sono.
La quarta cifra ci dice quanti 3 ci sono... e così via.

Facciamo la prova?
Prima cifra: 2. Ci sono due 0 nel numero.
Seconda cifra: 0. Non ci sono 1 nel numero.
Terza cifra: 2. Ci sono due 2 nel numero.
Quarta cifra: 0. Non ci sono 3.

Curioso, no?.

E non è una cosa da poco: di tutti gli infiniti numeri, solo sette ci parlano di se stessi in questo modo:

6210001000
521001000
42101000
3211000
21200
2020


Come dite? Ne ho elencati solo sei?
Certo. E avete anche intuito il motivo?
Proprio così! Il numero che manca dovete scoprirlo voi!
Vi posso dare un suggerimento: il numero mancante è il più piccolo dei sette.

Non dovrei nemmeno dirlo ma lo dico lo stesso: bisogna spiegare il ragionamento fatto per trovare la risposta. Anche la risposta va raccontata, insomma.

Resta da stabilire la data di scadenza. Facciamo il 10 maggio? Giorno più, giorno meno, s'intende.
Perché la matematica non è un'opinione ma questa... sarà mica matematica!