sabato 28 gennaio 2012

Sarà mica matematica, puntata 11

Ecco i due quesiti di questa settimana. Entrambi si possono affrontare con la forza bruta, cioé mettendosi a fare tutti i calcoli, oppure cercando una strada meno evidente ma più elegante. Se scegliete la seconda opzione, cercate anche di spiegare il ragionamento che avete fatto. Sarà molto apprezzato.

Dunque, vediamo, la tabellina del 21...

Quanti sono i numeri di tre cifre divisibili per 21?

Piccolo suggerimento: qual è il più piccolo? Qual è il più grande? Se riuscite a individuare questi due numeri, fare il conto di quanti sono in totale non dovrebbe essere più un problema.


Allenarsi all'invalsi

Dieci anni fa ho piantato un ramo di un alberello. Ha attecchito e il secondo anno gli erano cresciuti 2 nuovi rametti. Adesso ne aveva 3 in tutto.
L’anno seguente, da ognuno dei nuovi rami sono nati 2 rametti. In totale l’albero aveva 7 rami.

Se le cose sono andate avanti in questo modo, quanti rami ha l’albero quest’anno?

Se tutto va come dovrebbe, venerdì prossimo (forse sabato) vedremo le soluzioni.
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Nota di domenica 5 febbraio: con solo un paio di giorni di ritardo (sto migliorando!), ho pubblicato soluzioni e solutori. Sono in questo post.

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venerdì 27 gennaio 2012

Sarà mica matematica 10, le soluzioni

In questo post si danno le risposte. Chi cercasse le domande, può trovarle qui.


Non fa una piega

– C'è davvero una risposta? – sussurrò Phouchg.
– C'è davvero una risposta – confermò Pensiero Profondo.
– A Tutto? Alla grande Domanda sulla Vita, l'Universo e Tutto?
– Sì.
Sia Loonquawl sia Phouchg si erano preparati per tutta la vita a quel momento, erano stati selezionati fin dalla nascita come persone più adatte ad assistere a quel memorabile avvenimento, e tuttavia si ritrovarono a boccheggiare e a stare sulle spine come bambini eccitati.
– E sei pronto a darci la Risposta? – disse ansioso Loonquawl.
– Sì.
– Adesso?
– Adesso – disse Pensiero Profondo.
I due s'umettarono le labbra.
– Anche se penso che non vi piacerà – disse Pensiero Profondo.
– Non importa! – disse Phouchg. – Dobbiamo saperla! Adesso!
– Adesso? – chiese Pensiero Profondo.
– Sì! Adesso…
– Va bene – disse il computer, e tacque. I due uomini si misero a giocherellare con le dita. La tensione era insopportabile.
– Non vi piacerà davvero – disse dopo un attimo Pensiero Profondo.
– Diccela!
– D'accordo – disse Pensiero Profondo. – La Risposta alla Grande Domanda…
– Su..?
– Sulla Vita, l'Universo e Tutto… – disse Pensiero Profondo.
– Sì…?
– È… – disse Pensiero Profondo, e fece una pausa.
– Sì…?
– È…
– Sì…???
Quarantadue – disse Pensiero Profondo, con infinita calma e solennità.

La soluzione
Alla prima piegatura, lo spessore è 0,1 mm x 2 = 0,2 mm.
Dopo la seconda piegatura, diventa 0,2 mm x 2 = 0,4 mm. Si potrebbe anche scrivere 0,1 mm x 2 x 2 = 0,4 mm, cioè 0,1 mm x 2^2 (che sarebbe 0,1 mm per due alla seconda).
Con la terza piegatura si ottiene lo spessore 0,1 mm x 2 x 2 x 2 = 0,1 mm x 2^3 = 0,8 mm.
E così via. Alla piegatura numero 20, lo spessore sarà:



0,1 mm x 2^20 = 0,1 mm x 1048576 = 104857,6 mm

Cioè 104,8576 metri. Facciamo 105 metri e non se ne parli più, d’accordo?
In altre parole abbiamo quasi doppiato la torre di Pisa (che è alta 56 metri). Oppure, se preferite, abbiamo costruito un grattacielo, se è vero che si considera grattacielo “qualsiasi edificio di altezza superiore ai 100 metri”.

Se poi tiriamo dritto e continuiamo a piegare per 42 volte, otterremo lo spessore:


0,1 mm x 2^42 = 0,1 mm x 4.398.046.511.104 = 439.804.651.110,4 mm

Cioè 439.804,6511104 chilometri. Per non farla troppo complicata, diciamo 440.000 km (quattrocentoquarantamila chilometri!).
Sapendo che la distanza media tra la Terra e la Luna è di circa 384.000 km, possiamo dire di aver raggiunto la Luna con un foglio di carta.
Anzi, l’abbiamo oltrepassata di quasi 40.000 chilometri.


Qualcuno allora potrebbe chiedersi: perché proprio 42 volte? Non ne potevano bastare 41?
No, non potevamo: a ogni piegatura lo spessore raddoppia, quindi alla piegatura 41 si ha metà spessore rispetto alla 42. Cioè si arriva solo a 220.000 km circa. Decisamente troppo poco per mettere piede sulla Luna.
Sono le meraviglie della crescita esponenziale.

Un altro buon motivo per usare il 42 è, naturalmente, che si tratta della risposta alla grande Domanda sulla Vita, l'Universo e Tutto secondo la Guida galattica per gli autostoppisti.

IL solutore
Quasi tutti sembrano essersi spaventati di fronte alla prospettiva di piegare un foglio per 42 volte. In pochi ci hanno provato (a fare i calcoli, non a piegare il foglio, spero). Uno solo è riuscito a trovare la misura esatta: Michael C. Complimenti a lui (per questa volta sorvolerò sul fatto che abbia fatto i conti sotto il banco, mentre io tentavo di spiegare il teorema di Pitagora).

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ERRATA CORRIGE

Grave gravissima svista: proprio stamattina mi ha consegnato una risposta perfettamente corretta il signor Fabio P. di prima B. Complimenti anche a lui e le mie scuse per averlo dimenticato.
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Allenarsi all’invalsi

Soluzione e solutori
Le figure che possono formare un parallelepipedo sono la B, la C e la E.

I solutori sono quattro: Giulia R., Nicholas S. e Matteo C.. Il quarto mi ha consegnato un biglietto anonimo. Forse preferisce tenere nascoste le sue doti: siamo costretti a rispettare la sua volontà.

Qualcun altro ha dato risposte parziali. Anche le loro identità rimarranno nascoste.

domenica 22 gennaio 2012

Il cielo che non vediamo

Se accompagnate un gruppone di cinquanta e passa terzini — intesi come alunni di terza media — in visita a un planetario, tornerete a casa con diverse sensazioni.

Ieri, con la terza A e la mia terza B, siamo andati al planetario di Milano; questo è quel che ho portato a casa:

  • un vago mal di testa, non so se per via della nausea da pullman o per colpa dei cori da stadio di quelli seduti in fondo;
  • la certezza che l'uscita sia servita a qualcosa. Perché, si sa, ripetere aiuta, specie se a ripetere non è l’insegnante ma qualcun altro. E buona parte della lezione al planetario sembrava la replica di alcune delle nostre lezioni in classe. Certo, spiegate meglio, con un lessico più controllato del mio, con una voce più impostata alla Alberto Angela e, soprattutto, con la possibilità di vedere ciò di cui si parla;
  • il ricordo di un piccolo tuffo al cuore quando ci hanno mostrato il cielo notturno non come lo vediamo di solito ma come sarebbe senza inquinamento luminoso. Spero l'abbiano provato anche i terzini. Io confesso di aver sentito anche un’ombra di tristezza al pensiero dello spettacolo che ci perdiamo ogni notte.

Ecco, siccome il momento più importante mi è sembrato proprio quel piccolo tuffo al cuore, voglio rincarare la dose.

Intanto invito a allontanarsi, qualche volta, da questo bel mondo di lampioni, insegne luminose e schermi a 40 pollici: magari andare in montagna — magari in qualche valle non impestata da troppi impianti di risalita — lasciarsi sorprendere dalla notte e alzare gli occhi al cielo.


Si potrebbe anche fare una capatina nel mezzo di qualche deserto, ma sembra meno facile.


Se siete di quelli che non si accontentano, potreste mettere insieme le due cose: andaresu una montagna in un deserto. Sul CerroParanal, nel deserto di Atacama in Cile, ad esempio.

Non è un caso se proprio da quelle parti l’ESO ha costruito alcuni degli osservatori astronomici più all’avanguardia. Sul Cerro Paranal, a 2600 metri di quota, si trova, per esempio, il VLT (Very Large Telescope, che tradotto sarebbe Telescopio Molto Grande, quindi meglio non tradurre).

Ecco qui un paio di foto e un filmatino, tanto per rendere l’idea dello spettacolo di cui si può godere laggiù. A occhio nudo, s’intende.

Panorama a 360° del cielo notturno sul Cerro Paranal (qui l'originale)
Il 22 dicembre la cometa Lovejoy è visibile all'orizzonte, in primo piano il VLT. Foto di Gabe Branner (qui l'originale)

Ancora la cometa Lovejoy in un breve filmato di Gabe Branner

Per finire va detto che, nonostante l'inquinamento luminoso, qualcosa si può vedere anche dalle nostre parti. Ad esempio, se qualcuno volesse tentare di riconoscere alcune delle costellazioni visbili in questo periodo nei nostri cieli (diciamo il nord Italia, più o meno), potrebbero tornare utili delle mappe del cielo. Proprio il planetario di Milano ne mette a disposizione una semplice da provare. La trovate qui.

domenica 15 gennaio 2012

Sarà mica matematica, puntata 10


Non fa una piega

Quale sarà lo spessore di un foglio di carta? Un normale foglio, di quelli da fotocopie. Diciamo circa 0,1 mm?
Ora, se pieghiamo il foglio a metà, avremo uno spessore doppio: 0,2 mm. Se pieghiamo ancora a metà, avremo uno spessore di 0,4 mm.
Bene. Che spessore si raggiunge piegando un foglio per 20 volte?
E poi, che spessore si ottiene piegando il foglio 42 volte?

Ecco, questo è il primo quesito. Rispondere non dovrebbe essere granché difficile. Si tratta di fare i conti, magari qualche equivalenza per comprendere meglio il risultato. Roba che con un po’ di attenzione (e una calcolatrice) si può fare senza troppo impegno.
Potrebbe non essere facile credere ai risultati, invece.

Piccola precisazione: più di uno, in classe, ha notato che non è possibile piegare un foglio A4 per più di otto volte. Non so se sia vero, io ci ho appena provato e sono arrivato solo fino a sette. Il punto è che non è necessario piegare alcun foglio, bisogna solo immaginare di farlo.
Non è possibile piegare un foglio per venti volte, figurarsi per 42 volte! Va bene, e con questo? Durante le  lezioni di geometria non si fa altro che parlare di punti. Quante dimensioni ha un punto?
Ecco, penserete mica che esista davvero una roba con zero dimensioni. Questo ci impedisce di ragionarci su?


Allenarsi all’invalsi

Quale (o quali) delle seguenti figure sono lo sviluppo di un parallelepipedo?

Piccolo suggerimento: è possibile stampare l’immagine, ritagliare le figure e mettersi a piegarle per cercare di costruire un parallelepipedo. Tenete conto solo che questo è un quesito “allenarsi all’Invalsi”. Dubito che durante la prova di fine anno abbiate la possibilità di tagliare i fogli e giochicchiare coi ritagli. Anche in questo caso sembra più consigliabile cercare di immaginare cosa succederebbe se.

Ecco qua. A venerdì per le risposte.

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Nota di venerdì 27 gennaio: con una settimana di ritardo (ma sempre di venerdì, questo va detto), ho pubblicato soluzioni e solutori. Sono in questo post.

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Sarà mica matematica 9, le soluzioni

Dicono che la befana si porti via tutte le feste. Qui ha portato le soluzioni ai giochi proposti in quest'altro post. Le ha portate un po' in ritardo ma ci si deve accontentare, di questi tempi.


La complicazione 1 (da 9 a 1 = 100)
 

La maggioranza si è concentrata sul sistema “parto dal 98 e aggiusto gli altri numeri uno per uno”. Con queste varianti:

98+7-6+5-4-3+2+1=100 (Nicholas S. e Noemi C.)
98+7-6+5-4+3-2-1=100 (Manuel V. )
98-7+6+5-4+3-2+1=100 (di nuovo Nicholas S.)
98+7+6-5-4-3+2-1=100 (Clarissa B.)
98-7-6+5+4+3+2+1=100 (Sofia A.)

Altri hanno percorso strade simili, con un solo numero a due cifre:


9+8+76+5+4-3+2-1=100 (Erika A.)
9+8+76+5-4+3+2+1=100 (Fabio P.)
9+87+6+5-4-2-1=100 (Giulia F.)

Tutte soluzioni buone, naturalmente. Secondo le regole del gioco, però, la soluzione migliore è quella con meno operazioni. La palma di migliore soluzione va allora all’espressione:


98-76+54+3+21 = 100

L’hanno trovata in tre: Manuel R., Samuele L.P. e Thea B.. Ed è anche quella che Martin Gardner individua come soluzione migliore: non ce ne sono altre con solo quattro operazioni.





La complicazione 2 (Collegamenti)
 
La soluzione appare chiara nel disegno.


E i solutori sono, in ordine alfabetico: Beniamino A., Clarissa B., Erika A., Fabio P., Giorgia D., Giulia F., Manuel R., Marika M., Matteo N., Noemi C., Rebecca A., Samuele L.P., Sofia A. e Thea B..


Il giuoco di Natale

 
L’albero di natale con il tangram è stato costruito in tre diversi modi (non sono gli unici ma gli altri sono variazioni sul tema):

Hanno trovato la soluzione 1: Abdelali B., Clarissa B., Erika A., Marika M. e Samuele L.P.
Hanno trovato la soluzione 2: Fabio P., Jessica T. e Sofia A.
L’unica a scoprire la soluzione 3 è stata Noemi C.


Molto bene. Complimenti a tutti i solutori e a tutti quelli che ci hanno provato con impegno.
A breve (se tutto va bene) arriverà la puntata numero 10.