sabato 21 maggio 2016

Sarà mica matematica 40, le soluzioni

Venerdì 20 maggio 2016, ore 17.30, comincio a scrivere questo post.

La pila di carte, verifiche e quaderni da correggere che si erano accumulati sulla mia scrivania si è abbassata quanto basta per accedere al computer. Non si è esaurita, eh. Però adesso riesco a vedere lo schermo.

Dunque, il post.

Si tratta di raccontare le nostre risposte ai due quesiti della puntata numero 40 di Sarà mica matematica. Sono passati dieci giorni dalla data di chiusura dei giochi ed è proprio ora di cominciare a tirare le somme (trattandosi di matematica la frase sembra appropriata).

Ordunque non si frappongano ulteriori indugi e si parta colle risposte ai quesiti!

IL PRIMO

La prima risposta ad arrivare è stata di gran lunga quella di Caterina B (ricordate l'ospite d'onore della scorsa puntata?). Ecco quello che scrive:
Soluzione (forse) al primo quesito: allora, ho notato che i triangolini bianchi appaiono dal secondo “piano” del triangolone, e ne appare uno, cioè uno in meno, rispetto al piano corrispondente, quindi ho pensato che, alla quarantesima riga, avrei trovato 39 triangolini bianchi. Per trovare il numero totale di triangolini bianchi, ho pensato di fare la somma dei numeri da 1 a 39, secondo la formula di Gauss:


e il risultato è 780.

Per quanto riguarda l’area totale, ho notato una cosa interessante: il numero dei triangolini che forma ogni riga è il numero dispari che corrisponde al doppio più uno della riga in esame. Esempio: la riga n°4 è composta da (4*2)+1=9 triangolini. Quindi ho fatto la somma dei numeri dispari da 1 a 40, secondo la formula:
Quindi: 40^2= 1600, che è il numero di triangolini totali, ma anche l’area totale del triangolone, perché ogni triangolino ha area unitaria.
Qualcuno, sono sicuro, si chiederà cosa diavolo significano quegli strani simboli, in particolare quella specie di strana E. Si tratta della lettera greca Sigma maiuscola, simbolo che ha vari usi in matematica e che qui indica una sommatoria, cioè la somma di una certa sequenza di numeri. La sommatoria usata da Caterina dice che la somma di tutti i numeri dispari da 1 a N è uguale a N2.
Nel nostro caso N = 40. Quindi la somma di tutti i numeri da 1 a 40 è 402= 1600.

E qui mi sembra ci stia proprio bene un'altra frase di Caterina:  

La formula della sommatoria ha origini curiose: quest'anno ho addobbato l'albero di Natale con le foto di molti scienziati e matematici, tra cui Gauss, e quindi mi sono divertita ad approfondire i suoi studi, ed ecco comparire quella formula!
La curiosità porta spesso bei doni, meglio di Babbo Natale!

In rigoroso ordine di tempo, la seconda mail ad arrivare è stata quella di Martina P, la quale raccoglie le informazioni e i ragionamenti fatti in classe sui numeri triangolari e arriva a calcolare che in un triangolone con 40 triangolini di base, il numero totale di triangolini arancioni è 820. Un buon punto di partenza per arrivare alle risposte alle domande: quanti sono i triangolini BIANCHI? Se ogni triangolino ha area 1, qual è l’area del triangolone?

Vediamo il prossimo. Si tratta di Stefano P, il quale scrive:
Per trovare l' area del triangolone ho usato la formula di Gauss per trovare il numero dei triangoli arancioni (40 : 2) x (40 +1) = 20 x 41 = 820.
I triangoli bianchi sono uno in meno per ogni fila, quindi ho tolto 40 a 820 per trovare il numero dei triangoli bianchi: 780.
Infine li ho sommati per trovare il numero totale: 820 + 720 = 1600 che è anche l'area del triangolone.
La successiva mail con risposta (in parte) giusta è quella di Edoardo O, il quale conclude (sbagliando) che l’area del triangolone è 820. Però poi si riscatta con la frase:
Per trovare il numero di triangolini bianchi presenti nel triangolone, possiamo osservare che i triangoli bianchi del triangolo di base 40 sono in numero uguale a quelli arancioni del triangolo di base 39, cioè 780.
Ultima tra le mail, quella di Naomi R.
Per trovare il numero di triangoli arancioni ho applicato la formula di Gauss, ovvero, n x (n+1):2 = 40 x (40+1):2 = 820.
Dopodiché ho trovato il numero di triangoli bianchi e mi sono accorta che per farlo basta togliere ai quadratini arancioni i numeri di quadratini che formano la base: 820-n=820-40 = 780.
Infine per trovare l’area, guardando alla lavagna gli esempi del prof, ho capito che mi bastava fare n x n = 40x40 = 1600.
Brava Naomi… e bravo il prof  :-D

Passiamo alle risposte cartacee. Questa volta, su "sollecitazione" del succitato prof (ah, quanto mi piacciono le alllitterazioni!), parecchi ci hanno provato. Per non farla troppo lunga citerò solo chi ci ha azzeccato almeno un po'.
Eccoli, in rigoroso ordine casuale.

Edoardo D fa lunghe liste di numeri con le quali scopre il numero di triangolini arancioni e bianchi, poi però tralascia di concludere con l'area totale.
Martina D trova solo l'area del triangolone con una spiegazione che -confesso- non ho capito.
Giorgia M ragiona bene con il numero di triangolini arancioni e bianchi ma cade sull'area.
Nelson R fornisce le soluzioni corrette, con una spiegazione moolto sintetica.
Paolo M: vedi sopra ma ancora più sintetico!
Pietro B, alla fine di un luuungo elenco di calcoli, arriva alle conclusioni esatte (bravo Pietro ma Gauss non sarebbe contento!).
Alessia V segue un ragionamento non del tutto esatto sulla base e l'altezza e l'area del triangolo, però riesce giuste comunque ad trovare le risposte.
Leonardo R azzecca i triangolini bianchi ma confonde il numero di triangolini arancioni con l'area totale del triangolone!
Gaia C costruisce una tabella che la aiuta con quattro colonnein cui


Mirko P segue una strada del tutto simile a quella di Gaia.
Mattia G scopre l'area (anche se non racconta bene come), poi i triangolini arancioni con la formula "di Gauss" e infine, per sottrazione calcola il numero di triangolini bianchi.
Anche Iman B utilizza la formula del "Principe dei matematici" per calcolare i triangolini arancioni, poi nota che i bianchi devono essere 40 in meno, infine somma i due numeri ottenuti e determina il numero totale, ovverosia l'area del triangolone.

IL SECONDO

Il quesito originale comincia con una citazione: 
Tutto è curioso in matematica, ma solo dopo aver tolto ogni aspetto legato alla noiosa necessità.
La frase è tratta dal libro 103 curiosità matematiche, di Giorgio Balzarotti e Pietro P. Lava. Ora, basta seguire questo link (CLICK) per leggere una semplice descrizione dei numeri curiosi o autobiografici, proprio i protagonisti di questo quesito.
Dirò di più: proprio dalla lettura di questo libro mi è venuta l'idea per il quesito!

Ciò detto, passiamo alle soluzioni.

Si riparte da Caterina B, la nostra graditissima ospite fuori età. Le sue parole:
Ho trovato il numero 1210. Il ragionamento che ho fatto è il seguente: la prima cifra doveva essere un 1, perché doveva essere più piccolo di 2020, e perché la prima cifra seguiva un ordine decrescente;

L’ultima cifra doveva essere uno 0, e doveva essercene uno solo, per via del vincolo sulla cifra iniziale; all’inizio ho pensato che, per regolarità, questo numero non potesse avere più di tre cifre, invece mi sono resa conto che non erano sufficienti, facendo qualche prova, quindi mi sono orientata sull’ordine delle migliaia; ho scartato tutte le cifre superiori al 3 perché la sua presenza sarebbe stata incompatibile con i vincoli imposti, infatti il primo tre compare solo nel terzo numero dal basso, che è dell’ordine dei milioni.

A questo punto ho disegnato su un foglio 4 quadrati bianchi, e ho completato con un 1 il primo e con uno 0 l’ultimo: mi rimaneva da “giocare” con il 2 e con l’1, e mi è bastato riempire i quadrati mancanti.
La risposta di Stefano P richiede un po’ di concentrazione ma mi pare precisa ed esauriente:
Per trovare il numero più piccolo comincio con [un numero di] una cifra, ma se metto una cifra dall'uno al nove devo mettere almeno uno zero e se metto zero è sbagliato perché non ci sono zero zeri.

Quindi ho provato con due cifre, ma dato che devo mettere lo zero come seconda cifra viene sbagliato perché se metto l'uno come prima cifra non posso mettere lo zero dopo e se metto il due o una cifra maggiore devo mettere più zeri.

Non si possono neanche mettere tre cifre perché la prima cifra è per forza due se no il numero viene più grande, poi devo mettere due zeri, ma il secondo zero non va bene. Se metto uno come prima cifra non posso mettere uno anche come seconda perché ci sarebbero due uno.

Rimangono solo le quattro cifre e, dato che il numero più piccolo col due è 2020 e questo numero c'è già, devo per forza mettere l'uno come prima cifra poi il due altrimenti il numero viene lungo, poi devo mettere per forza l'uno come detto prima e infine lo zero e viene 1210, che è il numero che manca.
Nelle loro mail Edoardo D, Mattia C, Edoardo O e Sara C forniscono tutti la risposta corretta ma non spiegano come ci sono arrivati, tuttalpiù mettono in evidenza le ragioni per cui i conti tornano. Scelgo ad esempio le parole di Sara C, che mi paiono chiare:

1, c’è uno zero nel numero
2,ci sono due uno nel numero
1, c’è un due nel numero
0,non ci sono tre ne numero

Naomi R invia una risposta corretta anche se, stavolta, un po’ affrettata:
Per risolvere il quesito ho messo come primo numero 1 perché il prof ha detto che il 7° numero “speciale” è più piccolo di 2020 quindi ho provato ha mettere 2 come secondo numero e 1 come il terzo infine per fare tornare i conti ho messo 0 come ultimo numero…la soluzione finale è 1210.


Tra le risposte cartacee, la maggioranza si limita a mostrare perché la risposta è giusta. I più non vogliono rivelare quale ragionamento hanno seguito, alcuni dichiarano di essere andati per tentativi.

Ecco l’elenco, stavolta in rigoroso ordine alfabetico.

Alessia V, Alice D, Christian G, Irene T, Gaia C, Giorgia M, Giulia DM, Iman B, Leonardo R, Martina D, Mirko G, Moris N, Nelson R, Nicole M, Paolo e Matilde D, Paolo M.

Pietro B accenna una mezzo ragionamento ma lo fa in un linguaggio cifrato che non riesco a comprendere. Forse è un nuovo sistema crittografico.

Anche Mattia G usa un suo sistema di crittografia. Somiglia molto all’italiano ma è privato di alcune parti fondamentali: certi apostrofi, certe h, parecchie virgole… :-D Mattia parte dal primo 1 (non dice le ragioni di questa scelta) e incastra le altre cifre secondo necessità.

Proseguiamo con il filone crittografico: Edoardo D sceglie di modificare i modi e i tempi verbali, nel chiaro tentativo di rendere incomprensibili le sue frasi. Ma, dopo anni di pratica su verifiche e quaderni, sono un esperto di decrittazione e ho capito che: il numero non può iniziare con 0 (non ci possono essere zero 0); non può iniziare con 2 (qui il codice si fa complicato e dovrò lavorarci ancora a lungo per risolverlo del tutto) . Scoperte le prime due cifre, la terza e la quarta vengono di conseguenza.

Last but not least, come direbbero gli inglesi, vediamo la risposta di Mirko P da cui emerge un’altra proprietà dei numeri autobiografici. Forse in futuro sarà il caso di tornare a ragionarci.

Mirko costruisce una tabella in cui, per ciascuno dei numeri autobiografici, riporta la lunghezza del numero (la quantità di cifre che lo compongono) e la somma di tutte le sue cifre.

E scrive: ho notato che la lunghezza del numero e il totale delle cifre del numero sono sempre uguali. Allora i possibili numeri sono: 2020, 1210, 1111, 1300, 1120, … L’unico che segue le altre regole è il 1210.


Ora, sto esagerando, lo so. Però se qualcuno volesse approfondire parecchio potrebbe andare a guardarsi questo articolo (in inglese!) in cui vengono descritti i numeri autobiografici con tanto di Curriculum Vitae e Storia Completa della Vita. Il secondo punto della descrizione preliminare è proprio la scoperta di Mirko!

Ebbràvo Mirko! :-D

Con questo interessante spunto, chiudiamo la quarantesima puntata di Sarà mica matematica. E chiudiamo anche la stagione dei quesiti.

Riprenderemo a settembre con qualche nuovo gioco, magari ripartendo proprio dalla "scoperta" di Mirko, chissà.


Per una serie di ragioni è stata un'annata per me più faticosa del solito, e credo che traspaia anche tra le righe di questo blog. Vuol dire che cercherò di migliorare l'anno a venire.
Nel frattempo ringrazio tutti i ragazzi che hanno partecipato, qualcuno davvero con grande impegno e costanza.
Ringrazio i genitori che li hanno supportati, qualcuno davvero cercando una giusta misura nell'aiutare ma non troppo.
Ringrazio più che mai la prof Giovanna (e, certo, anche i suoi allievi): la collaborazione con lei è stata davvero preziosa!
A proposito, la prof Giovanna ha già pubblicato da tempo le risposte dei suoi ragazzi: consiglio di andare a dare un'occhiata!

Sabato 21 maggio, ore 19.20. Finisco di scrivere questo post.
D'accordo, non ho scritto per quasi 26 ore  filate. C'è stata qualche pausa dovuta a motivi famigliari, come si scrive nelle giustificazioni. 
Però è vero: sono parecchio lento nella scrittura!
Adesso il tempo di una veloce rilettura, qualche ritocco e si va in pubblicazione!